Hallo:-)
Du musst nur die Definition von Eigenwert bzw. Eigenvektor anwenden.
Was hast du gegeben.
Endomorphismus \(F:V\to V\)
Polynom \(P(t)\in \mathbb{K}[t]\). Also \(P(t)=\sum\limits_{i\in I}a_i\cdot t^i\)
Eigenwert \(\lambda\) von \(F\). Es gibt also ein \(v\in V\setminus\{0\}\), sodass \(F(v)=\lambda\cdot v\).
Zu zeigen ist also \(P(F)\cdot v=P(\lambda)\cdot v\).
Merke: Wenn du beim Beweisen einer Behauptung nicht alle gegebenen Voraussetzungen verwenden musstest/ verwendet hast, dann ist entweder zu viel vorausgesetzt worden oder du hast bei deinen Überlegungen vergessen, diese Voraussetzungen mit einzubeziehen, sodass dein Beweis falsch ist.