Eigenwerte von F: V -> V zeigen

Question

Text erkannt:

Sei \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \) -Vektorraum, \( F: V \rightarrow V \) linear und \( P \in K[t] \). Zeigen Sie: Ist \( \lambda \in K \) ein Eigenwert von \( F \), so ist \( P(\lambda) \) ein Eigenwert von \( P(F) \).

Ich verstehe zwar wie ich Eigenwerte berechnen kann, aber wie bringt mich das hier weiter? Wie beweise bzw. zeige ich dies hier?

Answer 1

Hallo:-)

Du musst nur die Definition von Eigenwert bzw. Eigenvektor anwenden.

Was hast du gegeben.

Endomorphismus \(F:V\to V\)

Polynom \(P(t)\in \mathbb{K}[t]\). Also \(P(t)=\sum\limits_{i\in I}a_i\cdot t^i\)

Eigenwert \(\lambda\) von \(F\). Es gibt also ein \(v\in V\setminus\{0\}\), sodass \(F(v)=\lambda\cdot v\).

Zu zeigen ist also \(P(F)\cdot v=P(\lambda)\cdot v\).

Merke: Wenn du beim Beweisen einer Behauptung nicht alle gegebenen Voraussetzungen verwenden musstest/ verwendet hast, dann ist entweder zu viel vorausgesetzt worden oder du hast bei deinen Überlegungen vergessen, diese Voraussetzungen mit einzubeziehen, sodass dein Beweis falsch ist.

Comments

vielen Dank für die Hilfe. Ich habe jetzt einige Stunden hier dran gesessen, aber irgendwie komme ich dennoch nicht ganz dazu zu zeigen, dass P(F)v=P(lamda)v ist.

Ich weiß nicht genau was ich übersehe, ob es eine Voraussetztung ist, aber irgendwie finde ich den letzten Schritt nicht.

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Setze doch mal dein Endomorphismus \(F\) in \(P\) ein. Also \(P(F)=...\)

Betrachte dann \(P(F)\cdot v=...\).

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Es ist bestimmt echt easy, aber ich bin scheinbar echt zu blöd. Ich verstehe auch irgendwie net ganz wie man auf diese Summe kommt, bei uns in der Vorlesung hab ich die nirgends gesehen. Vielleicht stehe ich mega auf dem Schlauch, aber diese Aufgabe lässt mich gerade echt an mir zweifeln...

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Hast du sowas kennengelernt?

\(P(t)=\sum\limits_{k=1}^n a_k\cdot t^k\)?

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Hab gerade nochmal nach geschaut und scheinbar ja. Ich glaube ich muss einfach nochmal alles wiederholen, aber trotzdem danke.

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Es ist wirklich nur stupides Einsetzen und ein bisschen Rechnen. Du kannst ja deine Rechnungen/Überlegungen hier reinstellen.

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Also ich weiß ja da Lamda ein EW von F ist, dass F(v)=Lamda*v ist. Und das ich dieses F in P einsetzten muss. Also P(F)=Sum ai * F^i. Vermutlich kann ich dann wieder etwas für das F in der Summe einsetzen und somit dann darauf kommen, dass dieses das gleiche ist wie P(Lamda)*v. Das war jetzt so meine Überlegung. Was mich aber auch verwirrt ist das wir in der Vorlesung hatten, dass Fv=Lamda v gilt. Aber eigentlich ist es doch F(v) oder macht das keinen Unterschied? Ich bin irgendwie etwas verwirrt von dem ganzen, sorry falls ich deine Zeit mit meinem dummen Problem vergeude.

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Was mich aber auch verwirrt ist das wir in der Vorlesung hatten, dass Fv=Lamda v gilt.

Das ist eine etwas faule Schreibweise, insbesondere \(Fv\). \(F\) wird wohl bei euch gerne als Matrix uminterpretiert. Das kann man machen, da man zu jedem Endomorphismus \(F\) mit einer Basis eine Darstellungsmatrix \(A\) bekommt. Darstellungsmatrix \(A\) von \(F\) und \(F\) selber haben dieselben Eigenwerte. Das habt ihr bestimmt schon bewiesen.

Um aber erstmal formal korrekt zu bleiben, nutze besser die Konvention/Schreibweise \(F(v)\).

P(F)=Sum ai * Fi.

Ja genau! Und jetzt dasselbe mit \(v\), also \(P(F)\cdot v\).

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Also dann P(F)*v= v * Sum ai *F^i.

oder muss ich das v dann in die Summe rein ziehen um so irgendwie auf Lamda zu kommen? also wir haben ja ein F und v was uns wahrscheinlich irgendwie zu F(v)=Lamda*v bringt?

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Also dann P(F)*v= v * Sum ai *Fi.

Oh vorsicht. Wenn dann musst du

\(P(F)\cdot v=\left(\sum\limits_{i=1}^n a_i\cdot F^i \right)\cdot v\) schreiben.

dann in die Summe rein ziehen

Ja!

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Aber was genau bringt mir das? Ich hab ja dann Sum (ai * v * F^i). Also wie kann ich aus v*F^i etwas sinnvolles machen? Vielleicht ein dummer Gedanke aber kann ich vielleicht Sum (ai+1 * v * F^(i+1)) + F*v*a   rechnen, also ein F von den F^i 's lösen? Und das dann irgendwie zu Lamda machen? Vielleicht bin ich auch gerade voll auf dem Holzweg.

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Zunächst: Pass auf die Reihenfolge auf!

ai * v * Fi

ist falsch.

Außerdem sehe ich gerade ein Problem an dieser Schreibweise \(F^i\cdot v\) willst du ja nicht nutzen.

Kennst du schon diese Aussage (s.o): Darstellungsmatrix \(A\) von \(F\) und \(F\) selber haben dieselben Eigenwerte. ?

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Wir hatten das glaube ich bezüglich Diagonalisierbarkeit. Aber wie hilft uns das hier?

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Ok, vergiss es wieder....

Nochmal. Ich habe selbst einen Denkfehler gemacht. Der Fehler beginnt mit \(P(F)\cdot v\). Es muss mit der Konvention \(F(v)\) also auch \(P(F)(v)\) geschrieben werden.

Dann hast du nämlich

\(P(F)(v)=\left(\sum\limits_{i=1}^n a_i\cdot F^i \right)(v)\stackrel{\text{Lineariatät}}{=}\sum\limits_{i=1}^n a_i\cdot F^i(v)=...\)

So passt das nämlich auch. Sorry für die entstandene Verwirrung.

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Kann ich das dann so sagen: P(\(\lambda\)*v)=Sum ai *(\(\lambda\)*v)^i = Sum ai(F(v))^i = Sum ai F^i(v) = P(F)(v).

Wobei der schritt von (F(v))^i zu F^i(v) wahrscheinlich nicht erlaubt ist

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Wobei der schritt von (F(v))i zu Fi(v) wahrscheinlich nicht erlaubt ist

Ja. Es gilt doch \(F^i=\underbrace{F\circ...\circ F}_{\text{i mal}}\).

Wenn du diese Aussage noch nicht kennst, dann musst die kurz beweisen:

Ist \(\lambda\) Eigenwert von \(F\), dann ist \(\lambda^i\) Eigenwert von \(F^i\). Nutze diese dann.

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Text erkannt:

\( P(F)(v)=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \cdot F^{i}\right)(v) \stackrel{\text { Linearitat }}{=}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \cdot F^{i}(v)\right)= \)
\( P(\lambda) v=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \lambda^{i}\right) v=\left(\sum \limits_{c=1}^{n} a_{i} \lambda^{i} v\right) \)
\( \Rightarrow P(F)(v)=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \cdot F^{i}(v)\right)=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \lambda^{i} v\right)=P(\lambda) v \)

wäre das so dann richtig?

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Ja, die letzte Zeile funktioniert eben nur, weil \(F^i(v)=\lambda^i\cdot v\) gilt.

Aber sieht gut aus. Jetzt kannst du deine Rechnung noch in eine Gleichungskette zusammenfassen.

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Vielen lieben Dank. Ohne dich hätte ich das nicht geschafft. Im nachhinein sieht das so wenig und eigentlich auch einfach aus. Wird auf jeden Fall noch ein hartes Studium und ich muss noch viel nachholen. Aber wie gesagt vielen Dank auch für die ganzen Mühen und für die ganze Zeit die du dir genommen hast. Ist echt nicht selbstverständlich und ich hab doch einiges dazu gelernt :)

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Sehr gerne. :-) Wichtig ist, dass du die Grundlagen (Definitionen) drauf hast und für Problemstellungen wie hier anwenden kannst. Aber Probieren ist immer dabei.