Aufgabe:
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1.0 Ein Teilstück einer Langlaufloipe verläuft von oben betrachtet geradlinig und hat im Querschnitt das abgebildete Profil, welches annähernd durch den Graphen der Funktion
mit der Definitionsmenge \( D_{f}=[0 ; 7,5] \) beschrieben werden kann. Die \( x \) -Achse gibt die Länge in waagrechter Richtung an, auf der \( y \) -Achse ist die Höhe über dem Meeresspiegel aufgetragen. Die Koordinaten \( \mathrm{x} \) und y stellen Lăngenangaben in der Einheit Kilometer bzw. Meter dar.
1.1 Ermitteln Sie die maximalen Teilintervalle von \( \mathrm{D}_{f} \), in denen die Loipe auf- bzw. abwärts
verlăuft.
1.2 Berechnen Sie unter Verwendung von Teilaufgabe 1.1, in welcher horizontalen Entfernung vom Beginn des Teilstückes der Loipe maximale Höhe erreicht wird. Geben Sie an, in welcher Höhe Sporttreibende sich am höchsten Punkt der Loipe befinden.
1.3 Ermitteln Sie, nach wie vielen Kilometern in horizontaler Entfernung vom Ausgangspunkt die Loipe am steilsten abwärts verlauft.
\( 1.4 \) Bestimmen Sie die durchschnittliche Steigung der Loipe in Prozent auf den ersten drei Kilometern.
1.5 Die Steigung der Loipe bei Kilometer 2 tritt im weiteren Verlauf der Loipe noch einmal auf. Berechnen Sie die Stelle, an der dies der Fall ist.
Problem/Ansatz:
Ich bin mir bei meinen Lösungen nicht ganz sicher... bzw. bei 1.2 und 1.3 denke ich das es falsch ist
1.1) steigend I=[0;3] ∪ [6;7,5]
fallend I=[3;6]
1.2) Habe ich die Extremstellen berechnet, indem ich in f(x) die 3 und 6 jeweils eingesetzt habe. Höchpunkt: (3|122,5) und Tiefpunkt (6|118)
1.3) Dort habe ich f´(x)= 8x2 - 72x + 144 in f´´(x) 16x - 72 abgeleitet und f´´(x) null gesetzt... da habe ich x = 4,5 rausbekommen also da verläuft es doch am Steilsten oder nicht?
