Weisen sie nach das.. gilt Abi Aufgabe

Question

Text erkannt:

Glegeben ist die Funktionenschar \( f_{a} \) durch die Gleichung \( f_{a}(x)=\left(x^{2}+a\right) \cdot e^{0,5-x} ; a \in \mathbb{R} \). Die Graphen der Schar sind \( G_{a} \).

Text erkannt:

Weisen Sie nach, dass gilt: \( f_{2}^{\prime \prime}(x)=(x-2)^{2} e^{0,5-x} \).
Erläutern Sie, welche Schlussfolgerungen daraus über den Verlauf des Graphen \( G_{2} \) gezogen werden können.

Aufgabe:

Answer 1

Produktregel verwenden zum Ableiten.

f '(x):

u=x^2-2

u'= 2x

v=e^(0,5-x)

v'= -e^(0,5-x)

f '(x) = 2x*e^(0,5-x) -(x^2-2)*e^(0,5-x) = e^(0,5-x)*(-x^2+2x+2)

f ''(x):

u= e^(0,5-x)

u' = -e^(0,5-x)

v= -x^2+2x+2

v'= -2x+2

f ''(x) = -e^(0,5-x)*(-x^2+2x+2)+e^(0,5-x)*(-2x+2) = e^(0,5-x)*(x^2-4x+4)

= -e^(0,5-x)*(x-2)^2

Answer 2

Leite die Funktion zweimal ab. Verwende dazu die Produktregel \(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\).

Beachte: Für \(f(x)=\mathrm{e}^{ax+b}\) gilt \(f'(x)=a\mathrm{e}^{ax+b}\) (Kettenregel für die \(\mathrm{e}\)-Funktion)

Überprüfe deine Rechnung gerne selbstständig unter https://www.ableitungsrechner.net/ oder stelle deinen Lösungsweg hier ein. Erläutere, was die konkreten Schwierigkeiten mit der Aufgabe sind.

Hinweis: Es wird dir für das Abitur nichts bringen, wenn dir die Aufgabe hier jemand vorrechnet, denn Beispiele zur Anwendung der Produktregel bei \(\mathrm{e}\)-Funktionen solltest du schon häufiger gesehen haben. Einige helfen dir aber gerne bei der Lösungsfindung.