Für zwei Operatoren \( \hat{A} \) und \( \hat{B} \) ist der Kommutator \( [\hat{A}, \hat{B}] \) definiert durch die Wirkung auf eine Funktion \( \psi \) gemäß \( [\hat{A}, \hat{B}] \psi=\hat{A}(\hat{B} \psi)-\hat{B}(\hat{A} \psi) \).
(a) Zeigen Sie, dass die in Gleichung definierten Impuls und Ortsoperatoren die kanonischen Vertauschungsrelationen
\( \left[\hat{p}_{k}, \hat{p}_{\ell}\right]=0, \quad\left[\hat{x}_{k}, \hat{x}_{\ell}\right]=0, \quad\left[\hat{p}_{k}, \hat{x}_{\ell}\right]=-i \hbar \delta_{k \ell} \)
erfüllen.
Hier die Gleichungen:
\( \hat{p}_{k} \psi=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{k}} \psi \)
\( \hat{H}=H(\vec{r},-i \hbar \vec{\nabla}) \)
Hierbei nehmen \( k \) und \( \ell \) die Werte \( 1,2,3 \) an und \( \delta_{k \ell} \) ist das Kronecker-Delta.
(b) Berechnen Sie für eine Hamiltonfunktion der Form
\( H(\vec{r}, \vec{p})=\frac{p^{2}}{2 m}+V(\vec{r}), \quad p=|\vec{p}|, \)
die Kommutatoren \( \left[\hat{x}_{k}, \hat{H}\right] \) und \( \left[\hat{p}_{k}, \hat{H}\right] \).
(c) Ersetzt man in der Definition des klassischen Drehimpulsvektors \( \vec{L}=\vec{r} \times \vec{p} \) die Komponenten von Orts- und Impulsvektor durch die entsprechenden Operatoren, so erhält man den Drehimpulsoperator mit Komponenten \( \hat{L}_{1}, \hat{L}_{2} \) und \( \hat{L}_{3} \). Berechnen Sie den Kommutator \( \left[\hat{L}_{1}, \hat{L}_{2}\right] \)
Wie geht man hier vor?
