Aloha :)
Bei \(n=800\) Lampen und \(p=5\%\) Ausschusswahrscheinlichkeit können wir für die Normalverteilung als Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) folgende Werte annehmen:$$\mu=np=800\cdot0,05=40\quad;\quad\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{800\cdot0,05\cdot0,95}=\sqrt{38}$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl \(X\) defekter Lampen mindestens \(40\) und höchstens \(50\) Lampen beträgt, ist daher:$$P(40\le X\le 50)=P(X\le50)-P(X\le39)$$$$\phantom{P(40\le X\le 50)}=\Phi\left(\frac{50-40}{\sqrt{38}}\right)-\Phi\left(\frac{39-40}{\sqrt{38}}\right)$$$$\phantom{P(40\le X\le 50)}=\Phi(1,6222)-\Phi(-0,1622)=0,947621-0,435565$$$$\phantom{P(40\le X\le 50)}=0,512055\approx51,21\%$$
Es kann sein, dass ihr im Unterricht die sogenannte "Stetigkeitskorrektur" besprochen habt. Da die Normalverteilung für stetige Zufallsvariablen gilt, wir hier aber eine diskrete Zufallsvariable haben, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann, müssten wir das eigentlich wie folgt berücksichtigen:$$P(39,5\le X\le 50,5)=P(X\le50,5)-P(X\le39,5)$$$$\phantom{P(39,5\le X\le 50,5)}=\Phi\left(\frac{50,5-40}{\sqrt{38}}\right)-\Phi\left(\frac{39,5-40}{\sqrt{38}}\right)$$$$\phantom{P(39,5\le X\le 50,5)}=\Phi(1,7033)-\Phi(-0,0811)=0,955746-0,467677$$$$\phantom{P(39,5\le X\le 50,5)}=0,488069\approx48,81\%$$
