Ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades bestimmen

Question

Aufgabe:

Ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades bestimmen

Problem/Ansatz:

Der Graph hat den Wendepunkt (0/1) und berührt die Parabel mit der Gleichung g(x) = x^2+x in ihrem Scheitelpunkt.

Nun ja zunächst hätte ich natürlich die Bedingung  F(0)=1. Nun weiß ich aber gar nicht was ich da mit g(x) anstellen soll. Eigentlich müsse ja die ableitung g'(x)= 2x = 0 ergeben. Aber wie ich daraus jetzt eine Funktion aufstellen soll ist mir unklar.

Ich bitte um Hilfe und bedanke mich im voraus.

Answer 1

Wendepunkt → 2 Bedingungen

f(0)=1

f''(0)=0

Berührt g im Scheitelpunkt → 2 Bedingungen

g'(x)=2x+1 → Scheitelpunkt bei x=-0,5

Scheitelpunkt → Waagerechte Tangente

f'(-0,5)=0

f(-0,5)=g(-0,5)

--> f(x)= ax^3+bx^2+cx+d

d=1, b=0

3a*(-0,5)^2+c=0 -->0,75a+c=0

a*(-0,5)^3+c*(-0,5)+1 = -0,25

 --> -0,125a-0,5c=-1,25

→ -0,25a-c=-2,5

Beide addieren:

0,5a=-2,5 → a=-5

0,75*(-5)+c=0 → c=3,75

f(x)=-5x^3+3,75x+1

p

Comments

Naja soweit so gut jetzt müsste man ja denke ich mal a,b,c,d bestimmen. Also eine ganze funktionsgleichung

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Ich bin ja noch nicht fertig.

:-)

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Achso danke dir, also kann man einfach für x die 1 einsetzen?

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oder wieso kommt da bei der Ableitung +1 nach x

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x ist nicht 1, sondern y=1 für x=0.

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oder wieso kommt da bei der Ableitung +1

g(x)=x^2+x

+x abgeleitet ergibt 1.

:-)

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d und b kannst du nun bestimmt selbst bestimmen.

Und a und c sind dann wohl auch nicht zu schwierig.

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Probleme hab ich jetzt bei a und c

für die Bedingung

f(0)=1 & f''(0)=0 hab ich d=1 und b=0

demnach hab ich für f'(-0,5)=0  ==>  3ax²+2bx+c  ==>   3a*(-0,5)²+c=0

& für f(-0,5)=g(-0,5)   ==>   a*(-0,5)³+cx+1 = -0,75

Habe dann versucht im Taschenrechner das LGS zu lösen, hat aber keine eindeutigen Ergebnis ergeben. Erkennts du vlt. den Fehler? Ich knobel schon die ganzen Tage an solchen Aufgaben für mein Abi erkenne aber einfach die Fehler nicht ;(((

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Ich habe für g(-0,5)=0,25-0,5=-0,25 heraus.

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

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Ich Danke dir sehr für deine Hilfe und deine Zeit. Ich habe auch bemerkt das ich bei a*(-0,5)3+cx+1 = -0,75 vergessen hab -0.5 für das x einzusetzen. Wenn ich das tue und statt -0,75 -0,25 einsetze erhalte ich das selbe Ergebnis wie du. Anscheinend habe ich bei g(x) vergessen die klammer bei -0,5 zu setzen und bin deshalb auf -0,75 gekommen.

Vielen vielen Dank!

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Alles klar.

Dann kannst du deine Fehler in Zukunft vermeiden.

:-)