Funktionensschar Parameter a

Question

Es geht um eine Funktionensschar

Gegeben f(x)= x^2+ax+a

f'(x)= 2x+a

f''(x)= 2

Bestimmen Sie den Parameter a, sodass f(x) den Tiefpunkt T(2,5/-6,25) hat.

Mein Ansatz:

f(2,5)= (2,5)^2+3,5a= -6,25

            a= -3,57

Ist das so richtig?

Brauche ich dann noch die Ableitung f'(2,5)=0?

Comments

~plot~ x^2-5(x+1);{2.5|-6.25};[[-5|8|-13|7]];x^2-25(x+1)/7;x=2.5;-x*(x+2) ~plot~

der blaue Graph ist der für \(a=-5\), dessen Scheitel bei \(x_s=2,5\) liegt. Die rote Parabel mit \(a=-25/7\) geht durch den Punkt \((2,5|-6,25)\), hat dort aber keinen Tiefpunkt.

Die pinke Parabel zeigt die Lage aller möglichen Scheitel von $$f_a(x)=x^2+ax+a$$ Der Punkt \((2,5|-6,25)\) liegt aber nicht auf dieser Parabel.

Daraus folgt: es gibt keinen Wert für \(a\), der die Anforderung aus der Aufgabe erfüllt.

Answer 1

Wenn der Tiefpunkt an der Stelle x=2,5 liegen soll, muss die erste Ableitung (zur Erinnerung: 2x+a) gleich 0 sein.

2*2,5+a=0 hat die einzige Lösung a=-5.

Damit lautet die geforderte Funktionsgleichung

f(x)= x²-5x-5.

Der Funktionswert an der Stelle x=2,5 ist dann 6,25-12,5-5=-11,25.und passt nicht zu den gegebenen Koordinaten von T.

Was du berechnet hast ist irgendein Punkt auf dem Graphen, aber es ist nicht der Tiefpunkt!

Es gibt also keinen Wert a mit der geforderten Eigenschaft.

Comments

Wenn ich -5 in die Gleichung einsetze, komme ich auf -11,25.

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Ja, hatte ich auch gerade korrigiert.

Answer 2

f(x)=x^2+a x+a

f´(x)=2x+a

2x+a=0

x=-\( \frac{a}{2} \)

f´(2,5)=2*2,5+a=5+a

5+a=0

a=-5

f(x)=x^2-5x-5

Der y-Wert in der Aufgabe muss -11,25 lauten.