0 Daumen
356 Aufrufe

Aufgabe:

Seien k, m: X → Y Funktionen:

Nun will ich folgendes zeigen:

∀ A ⊂ Y : k(\( k^{-1} \)(A)) = A ⇔ k ist surjektiv

Und dann noch:

∀ B ⊂ X : \( m^{-1} \)(m(B)) = B ⇔ m ist injektiv

Problem/Ansatz:

An sich ist mir klar warum das so ist und ich könnte es in Worten erklären, aber wenn ich versuche es mathematisch zu erklären, laufe ich gegen Wände... Hoffe mir kann jemand helfen :)

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

∀ A ⊂ Y : k(\( k^{-1} \)(A)) = A ⇔ k ist surjektiv

Also erst mal so herum ==>

Sei also ∀ A ⊂ Y : k(\( k^{-1} \)(A)) = A

und angenommen k nicht surjektiv.

Dann gibt es ein y∈Y so dass für alle x∈X gilt f(x)≠y.

Mit A={y} gilt dann

==>  k^(-1)( A) = ∅ und weil k( ∅) =  ∅ hat man

k(\( k^{-1} \)(A)) = ∅ ≠ A . Widerspruch !

Umgekehrt: Sei k ist surjektiv und A ⊂ Y.

Bleibt zu zeigen: k(\( k^{-1} \)(A)) = A

Sei also y∈A. Da k surjektiv ist, gibt es ein x∈X mit k(x)=y,

also x∈k^(-1)(A).

Also k(x) ∈   k(\( k^{-1} \)(A)) und wegen k(x)=y also y ∈  k(\( k^{-1} \)(A)).

Also A ⊆   k(\( k^{-1} \)(A)).

Umgekehrt: Sei y ∈  k(\( k^{-1} \)(A))

==>   Es gibt ein  x∈k^(-1)(A) mit k(x)  = y.

Also ist x ein Urbild von y.

In k^(-1)(A) liegen aber genau nur die Urbilder

der Elemente von A, also ist y∈A und damit hat man auch

k(\( k^{-1} \)(A))  ⊆  A .            q.e.d.

Versuche es mit dem "injektiv" so ähnlich unter Nutzung der

Def. von injektiv in der Art m(a)=m(b) ==>  a=b.

Avatar von 289 k 🚀

Alles klar. Vielen Dank:) dann probier ich das mal.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community