∀ A ⊂ Y : k(\( k^{-1} \)(A)) = A ⇔ k ist surjektiv
Also erst mal so herum ==>
Sei also ∀ A ⊂ Y : k(\( k^{-1} \)(A)) = A
und angenommen k nicht surjektiv.
Dann gibt es ein y∈Y so dass für alle x∈X gilt f(x)≠y.
Mit A={y} gilt dann
==> k^(-1)( A) = ∅ und weil k( ∅) = ∅ hat man
k(\( k^{-1} \)(A)) = ∅ ≠ A . Widerspruch !
Umgekehrt: Sei k ist surjektiv und A ⊂ Y.
Bleibt zu zeigen: k(\( k^{-1} \)(A)) = A
Sei also y∈A. Da k surjektiv ist, gibt es ein x∈X mit k(x)=y,
also x∈k^(-1)(A).
Also k(x) ∈ k(\( k^{-1} \)(A)) und wegen k(x)=y also y ∈ k(\( k^{-1} \)(A)).
Also A ⊆ k(\( k^{-1} \)(A)).
Umgekehrt: Sei y ∈ k(\( k^{-1} \)(A))
==> Es gibt ein x∈k^(-1)(A) mit k(x) = y.
Also ist x ein Urbild von y.
In k^(-1)(A) liegen aber genau nur die Urbilder
der Elemente von A, also ist y∈A und damit hat man auch
k(\( k^{-1} \)(A)) ⊆ A . q.e.d.
Versuche es mit dem "injektiv" so ähnlich unter Nutzung der
Def. von injektiv in der Art m(a)=m(b) ==> a=b.
