Unterraum ist F-invariant

Question

Hallo,

ich habe ein Problem beim Verständnis einer Aufgabe. Es ist ein VR V und ein Endomorphismus F von V gegeben. Nun soll gezeigt werden, dass ein Unterraum von V F-invariant ist, wenn G:V/U ↦ V/U, Komplement v ↦ Komplement F(v) eine lineare Abbildung ist. Kann mir bitte jemand

Ansatz:

Ich weiß, wenn U F-invariant ist, muss gelten, dass F(U) ≤ U. Jedoch komme ich leider nicht weiter.

Answer 1

Nun soll gezeigt werden, dass ein Unterraum U von V F-invariant ist, wenn G:V/U ↦ V/U,

was jeder Klasse [v] die Klasse [F(v)] zuordnet (Das sind keine Komplemente.)

eine lineare Abbildung ist.

Sei also G eine lineare Abbildung und U ein Unterraum. Angenommen U ist

nicht F-invariant, dann gibt es ein u∈U mit f(u) ∉ U.

Da G linear ist , ist G( [0] ) = [0] .

Außerdem  ist   u∈U also [u] = [0] somit wäre [0] = G[u]= [f(u)]

im Widerspruch zu   f(u) ∉ U.

Comments

Dankeschön, das ergibt nun schon wesentlich mehr Sinn. Was genau bedeutet es, wenn der Klasse v die Klasse F(v) zugeordnet wird?

Wird somit auch schon ausgesagt, dass G wohldefiniert ist?

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F ist wohldefiniert; denn zwei Elemente der gleichen Klasse (etwa w,v)

unterscheiden sich nur um einen Summanden u ∈ U, etwa w = v+u.

==>  f(w) = f(v+u) = f(v) + f(u ) und weil f(u) ∈ U (Invarianz !)

liegen f(w) und f(v) in der gleichen Klasse.