Volumsintegral Kugel

Question

Hey :) Ich hab Probleme mit folgendem Beispiel:

 

Sei U die Kugel r≤R. Berechnen Sie das Integral aus (d³x / x²+y²+z²).

Man sollte x, y und z in Kugelkoordinaten umwandeln oder?

und die Grenzen sind ja r=0 bis R, θ=0 bis π und φ=0 bis 2π oder?

Wie funktioniert so ein Integral? ich versteh das gar nicht..

Ich weiß nur, dass 4πR rauskommt..

 

Danke fürs Helfen :)

Answer 1

So in kartesischen Koordinaten ausrechnen ist ein absoluter Overkill. daher wuerde ich und alle anderen Mathematiker Kugelkoordinaten empfehlen (sind im Normalfall bekannt). Die Funktionaldeterminante der Kugelkoordinaten anstatt das d³x schreiben (d³x= r²sin θ dr dφ dθ ). wobei r²= x²+y²+z²

So Nun einfach Integrieren: