Volumsintegral mit √(1/x) im Intervall 0<x<17 um die 1.Achse

Question

Also ich habe die Aufgabe bekommen ein Volumsintegral mit f(x)=√(1/x) um die 1.Achse zu berechnen,im Intervall 0<x<17.Prinzipiell weiß ich ungefähr wie man so etwas rechnet,auch mit dem logarithmus und so.Das Problem:Im zum Buch gehörigen Lösungsheft ist die Antwort 4π mal ln2 angegeben.Mir ist leider überhaupt nicht klar wie man dieses Ergebnis kommt. Vor allem das 4π ist mir komplett schleierhaft.Könnte mir hier jemand vielleicht den Rechengang erklären?

Answer 1

  f ( x ) = √(1/x)  l dies ist der Funktionswert an der Stelle x:

  Läßt man die Kurve um die x-Achse rotieren, entsteht an dieser
Stelle ein Kreis mit der Fläche

  A ( x ) = [ f ( x ) ]^2 * π  l der Funktionswert f ( x ) entspricht dem Radius des Kreises
  A ( x ) = [ √(1/x) ]^2 * π
  A ( x ) = 1/x * π

  Das Volumen ist die Aufsummierung der Kreisflächen = Integral

  ∫ A ( x ) * dx = ∫ π * 1/x * dx = π * ln ( x )  l Stammfunktion

  mit Anfangs- und Endwert  0 und 17
  π * [ ln ( x ) ] ₀ ¹⁷

  Leider läßt sich das Integral nicht berechnen da
  lim x -> 0+ [ ln ( x ) ] = -∞

  Hast du in der Aufgabenstellung  irgendwo einen Fehler ?
Mit 1 und 16 als Integrationsgrenzen würde dein Ergebnis herauskommen.

  mit Anfangs- und Endwert :
  π * [ ln ( x ) ] ₁ ¹⁶
  π * [ ln(16) - ln(1) ]
  π * 4 * ln(2)

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg

 

 

Comments

Vielen dank jetzt hab ich es verstanden.