Bestimmen sie alle xeReell, in denen die Taylor-Reihe konvergiert.

Question

meine Frage lautet;

Gegeben sei eine Funktion f: (-1,unendlich)-->reell,f(x)=In(1+x)

a )entwickeln sie die Funktion f an der Stelle x0=1 in eine Taylor-Reihe, indem sie zunächst eine Formel für f^(n)(x) mit neN

aufstellen und per vollständiger Induktion beweisen.

b) Bestimmen sie alle xeReell, in denen die Taylor-Reihe konvergiert.

ich habe zwar einen ungefähren Ansatz mit der Talorentwicklung machen könne, jedoch ist mir nicht klar, wie man das Alles zu einer Induktion umformen soll.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde hier die Summenformel für die geometrische Reihe nutzen:$$1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$Für \(|x|<1\) konvergiert die Summe für \(n\to\infty\) gegen \(\frac{1}{1-x}\). Setzt du nun \(-x\) anstatt \(x\) ein, erhältst du:$$\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n=\frac{1}{1+x}\quad;\quad|x|<1$$Wenn du nun beide Seiten integrierst, erhältst du die gesuchte Potenzreihe und den Konvergenzradius gleich mit dazu:$$\ln(1+x)=-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-x)^{n+1}}{n+1}=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-x)^{n}}{n}\quad;\quad|x|<1$$

Dass die Taylorreihe nur für \(|x|<1\) konvergiert, ist übrigens keine Einschränkung bei der Verwendung dieser Potenzreihe zur Berechnung, denn:$$1+x=\left(\frac{1}{1+x}\right)^{-1}=\left(\frac{1+x-x}{1+x}\right)^{-1}=\left(1-\frac{x}{1+x}\right)^{-1}$$$$\implies\ln(1+x)=-\ln\left(1-\frac{x}{1+x}\right)$$Man kann also mit der Potenzreihe für jedes \(x>-1\) den Wert \(\ln(1+x)\) berechnen.

Answer 2

Hallo :-)

Du musst erstmal eine Formel zur n-ten Ableitung ermitteln. Im Induktionsschritt ist der wesentliche Teil, die Induktionsvoraussetzung zu nutzen und diese abzuleiten. Dann hast du eine Rechnung der Form \((f^{n}(x))'=...=\underbrace{f^{(n+1)}}_{\text{Induktionsbehauptung}}\)

Comments

Achso okay super danke nur wie gehe ich vor? Also muss ich die zunächst einmal das x0=1 laufen lassen?

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Ich verstehe nicht was du meinst. Hast du denn schon eine Idee, wie die n-te Ableitung lautet?

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da bin ich mir auch nicht sicher, wie ich es machen soll :(

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Einfach paarmal ableiten und ein Muster erkennen.

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okay, stimmt ich erkenne so langsam, wie es funktionieren soll. Ich leite es dann zunächst einmal ab.

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okay, stimmt ich erkenne so langsam, wie es funktionieren soll. Ich leite es dann zunächst einmal ab.