Vom Duplikat:
Titel: Zeigen Sie, dass durch \|\cdot\|_{1} eine Norm auf C[0,1] gegeben wird.
Stichworte: norm,analysis
Aufgabe:
4. Auf dem Vektoraum \( C[0,1] \) der stetigen Funktionen \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) erklären wir
\( \|f\|_{1}:=\int \limits_{0}^{1}|f(x)| d x \text { und }\|f\|_{\infty}:=\sup _{0 \leq x \leq 1}|f(x)| \)
(a) Zeigen Sie, dass durch \( \|\cdot\|_{1} \) eine Norm auf \( C[0,1] \) gegeben wird.
(b) Zeigen Sie, dass durch \( \|\cdot\|_{\infty} \) eine Norm auf \( C[0,1] \) gegeben wird.
(c) Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( p_{n}(x):=x^{n} \). Bestimmen Sie \( \left\|p_{n}\right\|_{1} \) und \( \left\|p_{n}\right\|_{\infty} \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \)
(d) Sind die Normen \( \|\cdot\|_{1} \) und \( \|\cdot\|_{\infty} \) äquivalent?