Es sei V ein F-Vektoraum und f

Question

Text erkannt:

Es sei $V$ ein $\mathbb{F}$-Vektorraum und $f \in \mathcal{L}(V, V)$. Beweisen Sie:
(a) Ist $f$ injektiv, so ist für alle $n \in \mathbb{N}$ auch $f^{n}$ injektiv.
(b) Für ein $v \in \operatorname{null}\left(f^{n+1}\right)$ mit $v \notin \operatorname{null}\left(f^{n}\right)$ ist die Liste
$f^{0}(v), f^{1}(v), f^{2}(v), \ldots, f^{n}(v)$
linear unabhängig. Dabei ist $f^{0}:=\mathrm{id}_{V}$.

Comments

Hallo,

es gibt eine allgemeine Definition für die Injektivität eine Abbildung f. Im Falle eine linearen Abbildung gibt es ein Kriterium, das mit dem Nullraum (Kern) von f zusammenhängt. Welches wäre das?

Answer 1

Zu (a):

Induktion über n:

$n=0: \; f^0=id_V$  ist injektiv. Sei für $n$ bereits $f^n$ bereits als injektiv

nachgewiesen, dann gilt für $v,w\in V$:

$f^{n+1}(v)=f^{n+1}(w)\iff f(f^n(v))=f(f^n(w))\Rightarrow f^n(v)=f^n(w)$,

da $f$ injektiv ist.

Nach Induktionsannahme also $v=w$, q.e.d.