Es sei V ein F-Vektoraum und f

Question

Text erkannt:

Es sei \( V \) ein \( \mathbb{F} \)-Vektorraum und \( f \in \mathcal{L}(V, V) \). Beweisen Sie:
(a) Ist \( f \) injektiv, so ist für alle \( n \in \mathbb{N} \) auch \( f^{n} \) injektiv.
(b) Für ein \( v \in \operatorname{null}\left(f^{n+1}\right) \) mit \( v \notin \operatorname{null}\left(f^{n}\right) \) ist die Liste
\( f^{0}(v), f^{1}(v), f^{2}(v), \ldots, f^{n}(v) \)
linear unabhängig. Dabei ist \( f^{0}:=\mathrm{id}_{V} \).

Comments

Hallo,

es gibt eine allgemeine Definition für die Injektivität eine Abbildung f. Im Falle eine linearen Abbildung gibt es ein Kriterium, das mit dem Nullraum (Kern) von f zusammenhängt. Welches wäre das?

Answer 1

Zu (a):

Induktion über n:

\(n=0: \; f^0=id_V\)  ist injektiv. Sei für \(n\) bereits \(f^n\) bereits als injektiv

nachgewiesen, dann gilt für \(v,w\in V\):

\(f^{n+1}(v)=f^{n+1}(w)\iff f(f^n(v))=f(f^n(w))\Rightarrow f^n(v)=f^n(w)\),

da \(f\) injektiv ist.

Nach Induktionsannahme also \(v=w\), q.e.d.