Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

Question

Aufgabe:

Äquivalenz beweisen

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe ist etwas verwirrend, da man alle Aufgaben miteinander beweisen muss

Text erkannt:

Übungsaufgabe $4.3$ Sei $p \in \mathbb{N}_{+} .$ Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) $p \in \mathbb{P}$;
(ii) $\forall a, b \in \mathbb{Z}: p \mid a b \Rightarrow(p \mid a) \vee(p \mid b) ;$
(iii) $p$ hat genau zwei verschiedene positive Teiler.

Comments

Ist die Menge P irgendwie definiert?

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Ich denke mal, dass das die Menge der Primzahlen sein soll, oder?

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xxxxxxx fehlerhaft xxxxxx

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Warum nicht?

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Hier diskutieren inzwischen 3 Mitglieder - aber nicht der Fragesteller. Ich mache da nicht mehr mit.

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Sorry, ich war kurz weg...Die Menge sind die Primzahlen deshalb IP und p ist eine Primzahl, deshalb sind die Assagen schon stimmig, da Primzahlen durch 2 Werte Teilbar ist.

Den Beweis dafür kann ich leider nicht mathematisch richtig aufschreiben ...

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Aussage (iii) ist die Definition der Aussage (i). Definitionen werden nicht bewiesen.

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Ja, ist es, aber man soll die Äquivalenzrelation der Aussagen i ii iii zeigen...und das versuche ich zu erfragen

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Man soll die Äquivalenz der Aussagen (i), (ii) und  (iii) zeigen. Die Äquivalenz der Aussagen (i) und (iii) gilt per Definition.

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okay, dann fehlt nur die Äquivalenz von i zu ii und ii zu iii.

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Und deswegen kann aber (iii) nicht zugleich mit (i) gelten?

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wie bitte? Alle Aussagen GELTEN, aber es müsste gezeigt werden, weshalb die gelten! Aussage i und iii gelten per Definition.

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Vielleicht kommen wir weiter, wenn der Fragesteller mal die Original-Definiton der Primzahlen aus seiner Vorlesung hier zitiert.

Gruß Mathhilf

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Text erkannt:

3.1.12 Satz (Lemma von Euklid). Seien $a, b \in \mathbb{Z}$ und $n \in \mathbb{N}_{+}$ gegeben mit $\operatorname{ggT}(a, n)=1$. Dann gilt
$$n|a b \Longrightarrow n| b$$
Insbesondere gilt für $p \in \mathbb{P}$, dass
$$p \mid a b \Longrightarrow(p \mid a) \vee(p \mid b)$$
3 Ganzzahlige Arithmetik
$$30$$
Beweis. Wegen $n \mid a b$ existiert ein $k \in \mathbb{Z}$ mit $k n=a b .$ Mit Satz 3.1.11 existieren $x, y \in \mathbb{Z}$ mit $1=x a+y n .$ Multiplizieren wir diese Gleichung mit $b$, so erhalten wir
$$b=b(x a)+b(y n)=(a b) x+n b y=(k n) x+n b y=n(k x+b y)$$
Dies bedeutet $n \mid b$. Sei nun $p \in \mathbb{P}$ eine Primzahl mit $p \mid a b$. Für $\operatorname{ggT}(a, p)$ gibt es nur zwei Fälle. Falls $\operatorname{ggT}(a, p)=p$, so gilt $p \mid a$. Falls ggT $(a, p)=1$, so folgt aus dem ersten Teil $p \mid b$. Insgesamt folgt also $(p \mid a) \vee(p \mid b)$.

Answer 1

marcellino du schlingel, du schickst einfach die ha hier rein