Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

Question

Aufgabe:

Äquivalenz beweisen

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe ist etwas verwirrend, da man alle Aufgaben miteinander beweisen muss

Text erkannt:

Übungsaufgabe \( 4.3 \) Sei \( p \in \mathbb{N}_{+} . \) Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) \( p \in \mathbb{P} \);
(ii) \( \forall a, b \in \mathbb{Z}: p \mid a b \Rightarrow(p \mid a) \vee(p \mid b) ; \)
(iii) \( p \) hat genau zwei verschiedene positive Teiler.

Comments

Ist die Menge P irgendwie definiert?

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Ich denke mal, dass das die Menge der Primzahlen sein soll, oder?

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xxxxxxx fehlerhaft xxxxxx

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Warum nicht?

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Hier diskutieren inzwischen 3 Mitglieder - aber nicht der Fragesteller. Ich mache da nicht mehr mit.

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Sorry, ich war kurz weg...Die Menge sind die Primzahlen deshalb IP und p ist eine Primzahl, deshalb sind die Assagen schon stimmig, da Primzahlen durch 2 Werte Teilbar ist.

Den Beweis dafür kann ich leider nicht mathematisch richtig aufschreiben ...

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Aussage (iii) ist die Definition der Aussage (i). Definitionen werden nicht bewiesen.

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Ja, ist es, aber man soll die Äquivalenzrelation der Aussagen i ii iii zeigen...und das versuche ich zu erfragen

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Man soll die Äquivalenz der Aussagen (i), (ii) und  (iii) zeigen. Die Äquivalenz der Aussagen (i) und (iii) gilt per Definition.

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okay, dann fehlt nur die Äquivalenz von i zu ii und ii zu iii.

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Und deswegen kann aber (iii) nicht zugleich mit (i) gelten?

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wie bitte? Alle Aussagen GELTEN, aber es müsste gezeigt werden, weshalb die gelten! Aussage i und iii gelten per Definition.

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Vielleicht kommen wir weiter, wenn der Fragesteller mal die Original-Definiton der Primzahlen aus seiner Vorlesung hier zitiert.

Gruß Mathhilf

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Text erkannt:

3.1.12 Satz (Lemma von Euklid). Seien \( a, b \in \mathbb{Z} \) und \( n \in \mathbb{N}_{+} \) gegeben mit \( \operatorname{ggT}(a, n)=1 \). Dann gilt
$$ n|a b \Longrightarrow n| b $$
Insbesondere gilt für \( p \in \mathbb{P} \), dass
$$ p \mid a b \Longrightarrow(p \mid a) \vee(p \mid b) $$
3 Ganzzahlige Arithmetik
$$ 30 $$
Beweis. Wegen \( n \mid a b \) existiert ein \( k \in \mathbb{Z} \) mit \( k n=a b . \) Mit Satz 3.1.11 existieren \( x, y \in \mathbb{Z} \) mit \( 1=x a+y n . \) Multiplizieren wir diese Gleichung mit \( b \), so erhalten wir
$$ b=b(x a)+b(y n)=(a b) x+n b y=(k n) x+n b y=n(k x+b y) $$
Dies bedeutet \( n \mid b \). Sei nun \( p \in \mathbb{P} \) eine Primzahl mit \( p \mid a b \). Für \( \operatorname{ggT}(a, p) \) gibt es nur zwei Fälle. Falls \( \operatorname{ggT}(a, p)=p \), so gilt \( p \mid a \). Falls ggT \( (a, p)=1 \), so folgt aus dem ersten Teil \( p \mid b \). Insgesamt folgt also \( (p \mid a) \vee(p \mid b) \).

Answer 1

marcellino du schlingel, du schickst einfach die ha hier rein