Grenzwert limx-->0 sin(x)/ln (1+x) mit Hilfe der Regel von l´Hospital

Question

Juhuu,

könnte Hilfe bei folgendem gebrauchen. ;-)

Verifizieren sie, dass bei den folgenden Grenzwerten die Regel von de l´hospital anwendbar ist und berechnen sie anschliessend den jeweiligen Grenzwert mit Hilfe dieser Regel.

a) limx-->0  sin(x)/ln (1+x)

b) lim x-->0 ln(cos(x)/ln(cos(pix))

Ich hoffe es kann mir hierbei einer helfen. Ich weiss, dass die Formel folgende ist:

lim x-->x0 f(x)/g(x)=lim x-->x0 f´(x´)/g´(x).

Heisst dass, dass ich erstmal die Zweite Ableitung mache und die dann in die Formel einsetze?

Also bei a)

sin(x)/ln (1+x)/

die 1. Ableitung

f´(x)= x*cos(x)*ln(1+x)+cos(x)*ln(1+x)-sin(x)/(x+1)*ln(x+1)²

aber was ist dann mein g´(x) ???

vielen dank für eure Hilfe

Comments

lim x-->x0 f(x)/g(x) =lim x-->x0 f´(x´)/g´(x).

Nein diese Formel will, dass du Zähler und Nenner separat ableitest.

Ein Mal und dann schauen, ob du den Grenzwert jetzt hast, oder ob du noch weiter Hospital benutzen darfst.

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Achso, besten Dank.

Also so

sin(x)/ln(x+1) = sin(x)/1/x+1 . Hab jetzt beides separat abgeleitet. Aber ich verstehe ehrlich gesagt noch nicht so richtig woran ich jetzt erkenne ob ich den Grenzwert jetzt hab.

Answer 1

Hi

a)

Für x = 0 ist sin(x) / ln(1+x) = 0/0.
Das ist ein unbestimmter Ausdruck und damit haben wir
verifiziert, dass die Regel von L’Hospital anwendbar ist.

lim x->0 sin(x) / ln(1+x) = lim x->0 (sin(x))' / (ln(1+x))' =
lim x->0 cos(x) / (1/(1 + x)) = lim x->0 cos(x) * (1 + x) =
cos(0) * (1 + 0) = 1

b)
Für x = 0 ist ln(cos(x))/ln(cos(pi x)) = ln(1)/ln(1) = 0/0.
-> L’Hospital ist anwendbar.

lim x->0 ln(cos(x))/ln(cos(pi x)) = lim x->0 (ln(cos(x)))'/(ln(cos(pi x)))' =
lim x->0 tan(x)/(pi*tan(pi x))

Hier hat die erste Ableitung nicht weitergeholfen, weil für x = 0
erneut ein unbestimmter Ausdruck 0/0 entsteht, darum müssen wir
noch einmal ableiten.
lim x->0 tan(x)/(pi*tan(pi x)) = 1/pi * lim x->0 (tan(x))'/(tan(pi x))' =
lim x->0 1/pi * (1/cos^2(x)) / (pi/cos^2(pi x)) =
lim x->0 1/pi * (1/cos^2(x)) / (cos^2(pi x)/pi) =
1/(pi)^2