bestimmen Sie das kleinste Intervall, mit den beiden folgenden Eigenschaften | Stochastik

Question

bestimmen Sie das kleinste Intervall, mit den beiden folgenden Eigenschaften:
-das Intervall ist bezüglich des Erwartungswert von X symmetrisch

-die W.keit dafür, dass der Wert von X im Intervall liegt, ist größer als 90%

Angaben, die Wichtig sein könnten: n= 200, p=0.025

E(x) habe ich bereits berechnet, es ist 5.
was heißt es, wenn das Intervall bezüglich E(x) von X symmetrisch sein soll? was kann ich mit der Info anfangen?

und wie gehe ich generell bei so einer Aufgabe vor?

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen ein symmetrsiches Intervall \([\mu-d\,;\,\mu+d]\) um den Erwartungswert \(\mu\) herum finden, in dem der Wert der Zufallsvariablen \(X\) mit mehr als \(90\%\) Wahrscheinlichkeit liegt:$$0,9\stackrel!<P(\mu-d\le X\le \mu+d)=P(X\le\mu+d)-P(X<\mu-d)$$

Gehen wir von einer Normalverteilung aus, können wir normalisieren:

$$0,9<\Phi\left(\frac{(\mu+d)-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{(\mu-d)-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{d}{\sigma}\right)-\Phi\left(-\frac{d}{\sigma}\right)$$

Wegen der Symmetrie \(\Phi(x)+\Phi(-x)=1\) der Standard-Normalverteilung \(\Phi\) gilt weiter:$$0,9<\Phi\left(\frac{d}{\sigma}\right)-\left(1-\Phi\left(\frac{d}{\sigma}\right)\right)=2\Phi\left(\frac{d}{\sigma}\right)-1$$

Damit haben wir eine einfache Ungleichung:$$\left.2\Phi\left(\frac{d}{\sigma}\right)-1>0,9\quad\right|+1$$$$\left.2\Phi\left(\frac{d}{\sigma}\right)>1,9\quad\right|:2$$$$\left.\Phi\left(\frac{d}{\sigma}\right)>0,95\quad\right|\Phi^{-1}(\cdots)$$$$\left.\frac{d}{\sigma}>\Phi^{-1}(0,95)\approx1,64485363\quad\right|\cdot \sigma$$$$\underline{d>1,64485363\cdot\sigma}$$

Mit \(n=200\) und \(p=0,025\) folgen Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\):$$\mu=np=5\quad;\quad\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{4,875}$$Daraus berechnen wir das minimal mögliche \(d\);$$d=1,64485363\cdot\sqrt{4,875}=3,6317$$und geben schließlich das gesuchte Intervall an:$$\boxed{X\in\left[1,3683\,;\,8,6317\right]}$$