Aloha :)
Aus der Aufgabenstellung entnehmen wir die Punktmenge$$M=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,\big|\,0\le x\le\pi\,\land\,0\le y\le\sin(x)\}$$von der wir den Schwerpunkt bestimmen sollen. Dazu brauchen wir zuerst die Gesamtfläche:$$A=\int\limits_0^\pi\sin(x)\,dx=\left[-\cos(x)\right]_0^\pi=-\cos(\pi)+\cos(0)=2$$
Ich weiß nicht, wo ihr bei der Schwerpunktformel eingestiegen seid, daher fange ich ganz vorne an, dann kannst du den Einstiegspunkt finden, den ihr in der Vorlesung hattet:
Die Koordinaten des Schwerpunktes unserer Menge \(M\) sind allgemein:$$x_s=\frac{1}{A}\iint\limits_M x\,dA\quad;\quad y_s=\frac{1}{A}\iint\limits_M y\,dA$$Da wir hier \(M\) in kartesischen Koordinaten gegeben haben, heißt das:$$x_s=\frac{1}{A}\int\limits_{x=0}^\pi\int\limits_{y=0}^{f(x)}x\,dx\,dy\quad;\quad y_s=\frac{1}{A}\int\limits_{x=0}^\pi\int\limits_{y=0}^{f(x)}y\,dx\,dy$$Führen wir die Integration über \(dy\) aus, erhalten wir:$$x_s=\frac{1}{A}\int\limits_{x=0}^\pi x\left[y\right]_{y=0}^{f(x)}\,dx=\frac{1}{A}\int\limits_0^\pi xf(x)\,dx$$$$y_s=\frac{1}{A}\int\limits_{x=0}^\pi\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{f(x)}\,dx=\frac{1}{A}\int\limits_0^\pi\frac{[f(x)]^2}{2}\,dx$$
Für die \(x_s\)-Koordinate des Schwerpunktes erwarten wir auf Grund der Symmetrie den Wert \(\frac{\pi}{2}\). Wir prüfen das mit partieller Integration kurz nach:$$x_s=\frac{1}{2}\int\limits_0^\pi x\sin x\,dx=\frac{1}{2}\left(\left[-x\cos x\right]_0^\pi+\int\limits_0^\pi\cos x\,dx\right)=\frac{1}{2}\left(\pi+\left[\sin x\right]_0^\pi\right)=\frac{\pi}{2}$$
Für die \(y_s\)-Koordinate des Schwerpunktes nutzen wir den Tipp:$$y_s=\frac{1}{2}\int\limits_0^\pi\frac{1}{2}\sin^2x\,dx=\frac{1}{4}\int\limits_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac{1}{4}\int\limits_0^\pi\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)dx$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{8}\int\limits_0^\pi(1-\cos(2x))dx=\frac{\pi}{8}-\left[\frac{\sin(2x)}{16}\right]_0^\pi=\frac{\pi}{8}$$
Der Schwerpunkt der Fläche ist also bei \(S\left(\frac{\pi}{2}\,\big|\,\frac{\pi}{8}\right)\).
~plot~ sin(x) ; {pi/2|pi/8} ; [[0|pi|0|1,02]] ~plot~
