Produktionsfunktion mit Hilfe des totalen Differentials bestimmen

Question

Gegeben ist die Produktionsfunktion P = 900·A^0,3·K^0,9 (mit A=Arbeit, K=Kapital und P=Output). Ausgangspunkt ist die vorgegebene Inputfaktorkombination A₀ = 40 und K₀ =30.
a) Ermitteln Sie die Änderung von P näherungsweise mit Hilfe des totalen Differentials, falls sich der Arbeitseinsatz um 0, 5 erhöht und sich der Kapitaleinsatz um 0, 3 verringert.

Wie geht man hier vor?

Comments

Mein Ansatz:

P=900*A^0,3*K^0,9

270*A0,7*K0,9*dx+810*A0,3*K0,1*dy

Für A 40, K 30, dx 1,5 und dy 0,7 eingesetzt

ergibt ... 115588,7893... sicherlich falsch

Answer 1

Aloha :)

Dem Aufgabentext entnehmen wir:$$P(A;K)=900\,A^{0,3}\,K^{0,9}\quad;\quad(A_0;K_0)=(40;30)\quad;\quad\Delta A=0,5\,;\;\Delta K=-0,3$$

Das totale Differential von \(P(A;K)\) lautet:

$$dP=\frac{\partial P}{\partial A}\,dA+\frac{\partial P}{\partial K}\,dK$$$$dP=900\cdot0,3A^{-0,7}K^{0,9}\,dA+900\cdot0,9A^{0,3}K^{-0,1}\,dK$$$$dP=\frac{0,3}{A}\cdot900A^{0,3}K^{0,9}\,dA+\frac{0,9}{K}\cdot900A^{0,3}K^{0,9}\,dK$$$$dP=\frac{0,3}{A}\,P(A;K)\,dA+\frac{0,9}{K}\,P(A;K)\,dK$$$$dP=P(A;K)\cdot\left(\frac{0,3}{A}\,dA+\frac{0,9}{K}\,dK\right)$$

Wenn sich \(A\) um \(\Delta A\) und \(K\) umd \(\Delta K\) ändert, so ändert sich \(P\) also in linearer Näherung um:$$\Delta P\approx P(A;K)\cdot\left(\frac{0,3}{A}\,\Delta A+\frac{0,9}{K}\,\Delta K\right)$$

Speziell für die Werte aus der Aufgabenstellung:$$\Delta P\approx 900\cdot40^{0,3}\cdot30^{0,9}\cdot\left(\frac{0,3}{40}\cdot0,5+\frac{0,9}{30}\cdot(-0,3)\right)\approx-305,0907$$

Comments

Ach ich hätte für dx und dy einfach direkt 0,5 und -0,3 einsetzen sollen und nicht 1,5 und 0,7.

Vielen Dank!