Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.16*ln(x1)+12*ln(x2)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Ein Ackerbau wird mit \( x_{1} \) Einheiten Naturdünger und mit \( x_{2} \) Einheiten Kunstdünger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet:
\( E=f\left(x_{1}, x_{2}\right)=18 \cdot \ln \left(x_{1}\right)+12 \cdot \ln \left(x_{2}\right) . \)
Der Düngemitteleinsatz von derzeit \( 5.5 \) Einheiten Naturdünger und 3 Einheiten Kunstdünger wird geändert, so dass \( 8.2 \% \) weniger Naturdünger und \( 4.1 \% \) mehr Kunstdünger eingesetzt werden.
Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte diese Aufgabe mit Rechenweg erkläre..Danke

Answer 1

Aloha :)

Das totale Differential der Funktion lautet:

$$df(x_1;x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\,dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\,dx_2=\frac{18}{x_1}\,dx_1+\frac{12}{x_2}\,dx_2$$

Speziell an der Stelle \((x_1|x_2)=(5,5|3)\) lautet das totale Differential:$$df=\frac{18}{5,5}\,dx_1+\frac{12}{3}\,dx_2$$

Mit \((dx_1=-8,2\%\cdot 5,5)\) und \((dx_2=4,1\%\cdot 3)\) liefert das totale Differential folgende Abschätzung für die Änderung des Ertrags:$$\Delta f=\frac{18}{5,5}\cdot(-0,082\cdot5,5)+\frac{12}{3}\cdot(0,041\cdot3)=-18\cdot0,082+12\cdot0,041=-\frac{123}{125}$$