Stochastik Aufgabe (n gesucht)

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

Ermitteln Sie, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 100 Teile keinen Fehler haben.

Problem/Ansatz:

Ich habe es mit dem "=seq" Befehl probiert, hat aber nicht geklappt. Was ist der kürzeste und gleichzeitig der einfachste Weg, um an die Lösung zu kommen?

Answer 1

mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 100 Teile keinen Fehler haben.

\(X\) sei die Anzahl der fehlerfreien Teile.

Es soll

        \(P(X\geq 100) \geq 0,95\)

sein. Laut Sigmaregeln ist

    \(P(X\geq \mu-1,64\sigma) \approx 0,95\).

Also

(1)        \(\mu-1,64\sigma = 100\)

mit

(2)        \(\mu = n\cdot p\)

und

(3)        \(\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\).

Löse das Gleichungssystem.

Was ist der kürzeste und gleichzeitig der einfachste Weg, um an die Lösung zu kommen?

Das weiß ich nicht.

Comments

1,64 sigma ist wohl 90 %

1,96 sigma ist 95%

---

1,64 sigma ist wohl 90 %

Diese 90% knubbeln sich in der Mitte.

Die verbleibenden 10% teilen sich auf in 5% am linken Rand und 5% am rechten Rand.

Aber nur der linke Rand widerspricht \(X\geq 100\).

Deshalb \(1,64\sigma\).

Answer 2

Probieren z.B. hiermit:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

Schnell findet man n=108

Answer 3

Eine Möglichkeit besteht im Ausprobieren:

Die hier definierte Funktion f(n) ist in dem Bereich, um den es geht, streng monoton steigend. Mit einer einfachen Suche wird man also schnell fündig. Die beiden Werte zeigen: n=107 ist zu wenig, n=108 genügt.

Es geht aber auch anders.

Comments

Wieso ist p = 1-0,04 und nicht 0,04 (steht ja so in der Aufgabenstellung, oder nicht? "...sind 4 % der hergestellten Teile fehlerhaft" = Wahrscheinlichkeit für den Fehler = 4% oder?

---

Es wird nach den nicht fehlerhaften Teilen gefragt.

---

Wirklich einfach geht es so:

invBinomN(1-0.95, 1-0.04, 100-1)     108

Das steht aber nur bei den neueren Betriebssystemen der TI-Nspire-CX-Rechner zur Verfügung.

Answer 4

Hallo,

Du rufst das Programm für die kumulative Binomialverteilung auf, setzt für k eine Zahl ein, für n die Zahl k+100 und für p 0,04 und probierst ein wenig herum, bis das Ergebnis die 0,95 erreicht oder übersteigt.

Erklärung:

Wenn Du zum Beispiel 110 Teile auswählst, dann dürfen davon höchstens 10 fehlerhaft sein, damit noch mindestens 100 fehlerfreie übrigbleiben.

Wenn also die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zwischen 0 und 10 von diesen 110 Teilen fehlerhaft sind, 95 % übersteigt, liegst Du schon fast richtig.

Du mußt nun probieren, ob es - falls bei k=10 die 0,95 bereits überschritten sind, ob es vielleicht auch mit k=9 und n=109 funktioniert. Falls das, ob es auch mit k=8 und n=108 klappt usw. Falls nicht, mußt Du größere k und entsprechend größere n ausprobieren.

Zur Kontrolle: k=8, n=108.

Herzliche Grüße,

Answer 5

Löse die Gleichung

NORMAL((99.5 - n·0.96)/√(n·0.96·0.04)) = 1 - 0.95 --> n = 107.1

Teste jetzt mit der Binomialverteilung nach.

P(X >= 100 | n = 107) = 0.9344

P(X >= 100 | n = 108) = 0.9705

Also müsste man mind. 108 Teile auswählen.