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Question

Es sei R ein kommutativer Ring. Ein Element a ∈ R heißt Null-

teiler falls ein b∈ R\{0} existiert, sodass ab = 0. Zeigen Sie:
(a) Die Abbildung
Φ: R  ->R, x -> ax
ist genau dann injektiv, wenn a kein Nullteiler ist.
(b) Φist genau dann surjektiv, wenn a eine Einheit ist.
(c) Es sei R endlich. Dann ist jedes Element von R entweder ein Nullteiler oder eine
Einheit.
Folgern Sie aus (c), dass jeder endliche kommutative Ring ohne triviale Nullteiler ein
Körper ist.

Answer 1

(a) Die Abbildung
Φ: R ->R, x -> ax
ist genau dann injektiv, wenn a kein Nullteiler ist.

zu "==>"  Φ: R ->R, x -> ax sei injektiv.

Und angenommen a ist ein Nullteiler.

==> Es gibt ein b ≠ 0 mit ab=0

==> Φ(b)=ab = 0  und Φ(0)=a0 = 0

also Φ(b)= Φ(0) aber b≠0 ,

Widerspruch zu  Φ injektiv.

zu "<=="  Sei a kein Nullteiler und seinen x,y ∈ R mit

    Φ(x)= Φ(y)

==> ax = ay

==>  ax - ay = 0

==> a (x-y) = 0

Da a kein Nullteiler ist, folgt x-y=0

also x = y , somit ist Φ injektiv.

b) Sei a eine Einheit, also gibt es ein b mit ab=1.

Sei nun y∈R . Zu zeigen: Es gibt y∈R mit Φ(x)= y

Es gilt :   Φ(b)= ab = 1 , also gibt es so ein x, nämlich das b.

Sei umgekehrt b surjektiv, also gibt es für jedes El. x aus

R ein y mit  Φ(x)= y. Wähle y=1 , dann gibt es also ein

       x aus R mit 1 =  Φ(x)= ax , also ist x das Inverse von a,

somit a eine Einheit.

c) Sei x∈R kein Nullteiler. (Wenn es das nicht gibt, sind alle Elemente

Nullteiler, also die Aussage wahr.)

Betrachte x, xx=x^2 , xxx=x^3 etc.

Da R endlich ist, gibt es in dieser Folge irgendwann ein Element x^n

das vorher schon vorkam, etwa x^r. (mit r<n)

==>  1-x^(n-r) ist eine Einheit.