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Aufgabe:

Bestimmen Sie \( a, b, c \in \mathbb{R} \) so, dass die Ungleichung

\( \frac{4}{6+x}<\frac{5}{31+x} \)

die Lösungsmenge \( \mathcal{L}=(a, b) \cup(c,+\infty) \) besitzt.

Antwort:
\( a=\square, \quad b=\square \quad, \quad c=\square \)


Problem/Ansatz:

Ich habe es versucht erstmal nach x umzuformen. Habe x>94 raus.

Was bringt mir das bzw. verstehe ich nicht wie ich zu a, b ,c kommt?

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Danke für eure schnellen, ausführlichen Erklärungen:) TOP!!

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Aloha :)

$$\left.\frac{4}{6+x}<\frac{5}{31+x}\quad\right|-\frac{4}{6+x}$$$$\left.\frac{5}{31+x}-\frac{4}{6+x}>0\quad\right|\text{Hauptnenner bilden}$$$$\left.\frac{5(6+x)}{(31+x)(6+x)}-\frac{4(31+x)}{(31+x)(6+x)}>0\quad\right|\text{zusammenfassen}$$$$\left.\frac{30+5x-124-4x}{(31+x)(6+x)}>0\quad\right|\text{weiter zusammenfassen}$$$$\left.\frac{x-94}{(31+x)(6+x)}>0\quad\right.$$

Die Ungleichung ist genau erfüllt, wenn Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben.

Der Zähler ist genau dann positiv, wenn \(x>94\) gilt. Dafür sind aber auch beide Faktoren im Nenner positiv, sodass die Ungleichung erfüllt ist.

Der Zähler ist genau dann negativ, wenn \(x<94\) gilt. Damit auch der Nenner negativ ist, müssen seine beiden Faktoren unteschiedliches Vorzeichen haben:

$$\text{a)}\quad31+x<0\,\land\,6+x>0\implies x<-31\,\land x>-6\implies \text{keine Lösung}$$$$\text{b)}\quad31+x>0\,\land\,6+x<0\implies x>-31\,\land x<-6\implies -31<x<-6$$

Damit haben wir also die Lösungen \(x>94\) und \(-31<x<-6\). In der gewünschten Schreibweise aus der Aufgabenstellung heißt das:$$\boxed{L=(-31;-6)\cup(94;\infty)}$$

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a=-31, b=-6

Du musst die Fälle unterscheiden, in denen die Nenner positiv bzw. negativ sind.

\(\frac{4}{6+x}<\frac{5}{31+x} \)

1) x< -31

Beide Nenner negativ.

\(\frac{4}{6+x}<\frac{5}{31+x} \)

4*(31+x)<5*(6+x)

124+4x<30+5x

94<x

Das widerspricht der Voraussetzung x< -31

2)-31<x<-6

Linker Nenner negativ, rechter positiv.

\(\frac{4}{6+x}<\frac{5}{31+x} \)

4*(31+x)>5*(6+x)

94>x

Das gilt für alle x im vorgegebenen Intervall.

3)-6<x

Wie bei 1)

x> 94

Da x>-6 und x>94 gleichzeitig gelten soll, muss x>94 sein.

:-)

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Bringe alles nach links:

4/(6+x) -5/(31-x)  <0

(-9x+94)/((6+x)(31-x)) <0

Fallunterscheidung:

Zähler >0 und Nenner <0 oder umgekehrt

ODER: Über Kreuz multiplizieren mit Fallunterscheidung:

1. x< -31


2. -31<x<-6


3. x>-6

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