LR-Zerlegung Matrix bestimmen

Question

LR-Zerlegung Matrix bestimmen

LR-Zerlegung.

Gegeben ist die folgende Matrix und rechte Seite
$$ A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 6 & -2 \\ 2 & 3 & 8 \\ -6 & -1 & 5 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} -10 \\ 4 \\ 17 \end{array}\right) $$
a) Beweisen Sie über die Determinante, dass lineare Gleichungssysteme $ A x=b $ mit obiger Matrix aber beliebiger rechter Seite $ b $ stets eindeutig lösbar sind.

b) Zeigen Sie nun, dass sich die Zerlegung $ A=L R(L: $ normierte untere Dreiecksmatrix, $ R $ : obere Dreiecksmatrix) ohne Pivotsuche zu obiger Matrix nicht durchführen lässt.

c) Führen Sie die Zerlegung $ P A=L R(P: $ Permutationsmatrix $ ) $ mit Spaltenpivotisierung (Zeilenvertauschungen) durch. Geben Sie die Matrizen $ P, L, R $ explizit an. Lösen Sie damit das lineare Gleichungssytem $ A x=b $ zu obiger rechten Seite mit Vorwärts- und Rückwärtssubstitution. Die Teilschritte der Berechnungen sind anzugeben!

d) Bestimmen Sie die Zerlegung $ P A Q=L R(P, Q: $ Permutationsmatrizen) mit totaler Pivotisierung (Zeilen- und Spaltenvertauschungen). Auch hier sind die Matrizen $ P, Q, L, R $ explizit anzugeben. Lösen Sie erneut das lineare Gleichungssystem $ A x=b $ mit dieser Zerlegung. Die Teilschritte der Berechnungen sind anzugeben!

könnte mir jemand bitte dabei helfen?

a) habe ich schon gemacht (durch Cramer-Verfahren richtig oder?).

:)

Gefragt 1 Mai 2021 von elena_12

📘 Siehe "Dreiecksmatrix" im Wiki

1 Antwort

Beste Antwort

Zur LR Zerlegung.

Das ist eine Menge schreibarbeit....

siehe https://www.geogebra.org/m/vbrw8pe2

zur LR Zerlegung mit und ohne Pivotsuche

Nach dem 1. Schritt steht eine Null auf der Diagonalen

$\small A1 \, := \, \left(\begin{array}{rrr}4&6&-2\\0&0&9\\0&8&0\\\end{array}\right)$

Mit Spaltenpivotsuche Pi und Gaußschritt Li

R:=L2 P2 L1 P1 A => $\small R \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-6&-1&5\\0&\frac{16}{3}&\frac{4}{3}\\0&0&9\\\end{array}\right)$

L:=(L2 P2 L1 P2)⁻^1 => $\small L \, := \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{-2}{3}&1&0\\\frac{-1}{3}&\frac{1}{2}&1\\\end{array}\right)$

A x = b ===> L R = P A ===> P A x = P b ===> L R x = P b
LR Zerlegung mit Spaltenpivot R3 (siehe obigen Link)

$\small L \; R \; \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = P \; b $

Beantwortet 1 Mai 2021 von wächter

$\scriptsize A1:= \left(\begin{array}{rrr}-6&-1&5\\2&3&8\\4&6&-2\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}4&6&-2\\2&3&8\\-6&-1&5\\\end{array}\right) $

$\scriptsize A2:= \left(\begin{array}{rrr}-6&-1&5\\0&\frac{8}{3}&\frac{29}{3}\\0&\frac{16}{3}&\frac{4}{3}\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{1}{3}&1&0\\\frac{2}{3}&0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{array}\right) \cdot A = L1 \; P1\; A $

$\scriptsize R:= \left(\begin{array}{rrr}-6&-1&5\\0&\frac{16}{3}&\frac{4}{3}\\0&0&9\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{-1}{2}&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{array}\right) \cdot A2 =L2 \;P2\; L1 \;P1\; A$

Kommentiert 1 Mai 2021 von wächter

Ziel: L*R = P*A*Q

Erreicht: R=L₂*P₂*L₁*P₁*A*Q₁*Q₂

$ R = L_{2} \cdot P_{2} \cdot L_{1}\textcolor{red}{ \cdot P_{2} \quad P_{2} }\cdot P_{1} \cdot A \cdot Q_{1} \cdot Q_{2} $

L'=L₂*P₂*L₁*P₂

P=P₂*P₁

Q=Q₁*Q₂

R = L'*P*A*Q

L'^-1*R = P*A*Q

L=(L₂*P₂*L₁*P₂)^-1

L=P₂ L₁^-1 P₂ L₂^-1 , Inverse L(Vorzeichenänderung unterhalb Diagonale

$\small A \cdot X=b, \quad A \cdot Q \cdot Q^{T} \cdot X=b,\\ P \cdot A \cdot Q \cdot Q^{T} \cdot X=P \cdot b, \\ L \cdot R \cdot Q^{T} X=P \cdot b $

L Y = P b

$\small \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{8} & 1 & 0 \\ -\frac{1}{4} & -\frac{18}{29} & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-10 \\ 4 \\ 17\end{array}\right] $

R (Q^T X) = Y

$\small \left[\begin{array}{ccc}8 & 2 & 3 \\ 0 & -\frac{29}{4} & -\frac{23}{8} \\ 0 & 0 & \frac{144}{29}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_3 \\ x_1 \\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4 \\ \frac{29}{2} \\ 0\end{array}\right] $

Kommentiert 3 Mai 2021 von wächter

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