Für welche Werte a ∈ ℝ ist folgendes Gleichungssystem lösbar?

Question

Aufgabe:

Für welche Werte a ∈ ℝ ist folgendes Gleichungssystem lösbar?

x₁ - 1 a*x₂ = 2
a*x₁ - x₂ = 0
-2 * x₁ + a * x₂ = 6

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war den Rang zu bestimmen und dann die drei Fälle abzuarbeiten (keine Lösung, unendlich viele Lösungen, eine Lösung). Im Unterricht haben wir dazu immer 3x3 Matrizen gehabt, diese erweitert und unter der Hauptdiagonale Nullen erzeugt. Weiß aber nicht, ob man das bei diesem Gleichungssystem ebenfalls so machen kann.

,
zorny3

Answer 1

Löse das 2X2 Gleichungssystem aus zwei beliebig ausgewählten Gleichungen.

Gehe damit zur Probe in die dritte bisher nicht verwendete Gleichung.

Comments

Danke für die Antwort.

Hmm ja das wäre vermutlich die einfachere Methode. Hoffe der Mathe Prof lässt diesen Ansatz auch gelten.

Answer 2

Das LGS kann mit elementaren Zeilenumformungen umgeformt werden zu

\(\begin{aligned}x_1\phantom{+x_2}&=-8\\x_2&=-\frac{2a}{a^2-1}\\x_2&=-\frac{10}{a}\end{aligned}\)

Es ist lösbar, wenn

        \(a\neq 0\wedge a^2-1\neq 0\wedge -\frac{2a}{a^2-1} = -\frac{10}{a}\)

ist.

Comments

Danke für die Antwort.

Jetzt muss ich nur noch gucken mit welchen schritten ich zu diesem Ergebnis komme.

Answer 3

Warum löst du das Gleichungssystem nicht "ganz normal", z.B. mit Gauss...du hast doch 3 Gleichungen in 3 Variablen. Da ist es egal, ob eine Variable x oder a heisst.

Comments

Dachte ich muss das zuerst mit der Rangbestimmung machen und dann erst lösen.