Welcher Stammbruch ist das?

Question

Die Tabelle

001	371	742

wird vollständig ausgefüllt, indem man unter jeder dreistelligen Zahl die letzten 3 Stellen der um 111 erhöhten Zahl einträgt. Die Ziffern Zeile für Zeile hintereinander gelesen, bilden die Periode eines Stammbruches. Welcher ist das?

Answer 1

Hallo Roland,

der gesuchte Stammbruch ist$$\frac1{729}=\frac 1{3^6} = 0,\overline{001371742112482853223593964334705075445816186556927297668038408779149519890260631}$$

Comments

der gesuchte

besser : ein möglicher

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Wie kommt man auf 1/729?

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Die Probe liefert:

(10^81-1)/729 =
13717421124828532235939643347050754458161865569272976680384087791495198902\
60631

Das stimmt links überein, aber nicht rechts.

Übersehe ich etwas?

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Wie kommt man auf 1/729?

am einfachsten mit dem Taschenrechner:$$\frac1{0,001371742} \approx 729$$

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der gesuchte
besser : ein möglicher

er nun wieder ;-)

klaro - also besser der Stammbruch, mit dem kleinsten Nenner, der diese Periode hat ...

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Das stimmt links überein, aber nicht rechts.

doch - rechts stimmt auch. Wo siehst Du eine Abweichung?

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Bei mir hört die Zahl aus der Tafel mit

...889 259 630

auf. Vielleicht stimmt das auch nicht.

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Bei mir hört die Zahl aus der Tafel mit
...889 259 630
auf.

doch - das stimmt! die letzte Ziffer passt nicht um 1 ... Hmm!??

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  Bei mir hört die Zahl aus der Tafel mit
  ...889 259 630
  auf.

doch - das stimmt! die letzte Ziffer passt nicht um 1 ... Hmm!??

die letzten 'Ziffer(n)' muss es heißen, was wahrscheinlich damit zusammen hängt, dass \(9\cdot 111= 999\) und nicht \(1000\) ist. Ich forsche noch ein wenig ...

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Wolframalpha liefert:

\( 0 . \overline{0013717421124828532235939}\\\overline{6433470507544581618655692729}\\\overline{7668038408779149519890260631}\)

(period 81 )

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Ja, aber die Tafel liefert mit der Bedienungsanleitung hinten 630 und nicht 631.

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Text erkannt:

\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline \multicolumn{3}{|c|} { Die Tabelle } \\
\hline 001 & 371 & 742 \\
\hline 112 & 482 & 853 \\
\hline 223 & 593 & 964 \\
\hline 334 & 704 & 075 \\
\hline 445 & 815 & 186 \\
\hline 556 & 926 & 297 \\
\hline 667 & 037 & 408 \\
\hline 778 & 148 & 519 \\
\hline 889 & 259 & 630 \\
\hline
\end{tabular}

Soweit mal die entwickelte Tabelle zum Vergleich.

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Die erste Abweichung finde ich in der Tabelle in der zweiten Spalte bei 704. Die Dezimalzahl hat dort 705. Dann in der ersten Spalte bei 667 bzw. 668 und in der dritten Spalte ganz am Ende.

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Ja, aber die Tafel liefert mit der Bedienungsanleitung hinten 630 und nicht 631.

Das Problem beginnt doch schon viel früher.

1/729 =

0 . (001 371 742 112 482 853 223 593 964 334 705 075 445 816 186 556 927 297 668 038 408 779 149 519 890 260 631)

Gesucht ist aber:

0 . (001 371 742 112 482 853 223 593 964 334 704 075 445 815 186 556 926 297 667 037 408 778 148 519 889 259 630)

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Sag ich ja.

:-)

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Ja und was nun?

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Vielleicht liegt es schon an der Unregelmäßigkeit bei 1/81:

Hier fehlt die 8 in der Periode.

Die Aufgabe ist vermutlich so nicht genau, sondern nur näherungsweise lösbar.

:-)

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Stimmt, das ist nicht nett von der 81! :-)

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Das Problem beginnt doch schon viel früher.

Das hatte ich inzwischen auch schon festgestellt. Hier noch mal in Farbe:$$\begin{array}{c}001 &371 &742 &\\ 112 &482 &853 &\\ 223 &593 &964 &\\ 334 &70{\color{red}5} &075 &\\ 445 &81{\color{red}6} &186 &\\ 556 &92{\color{red}7} &297 &\\ 66{\color{red}8} &03{\color{red}8} &408 &\\ 77{\color{red}9} &14{\color{red}9} &519 & {\color{green}890}\\ 8{\color{red}9}{\color{red}0} &2{\color{red}6}{\color{red}0} &63{\color{red}1} & {\color{green}001}\\ \end{array}$$natürlich pflanzt sich jeder einmal aufgetretener 'Fehler' nach unten fort.

Wenn man die Regel aus der Aufgabe derart leicht verändert, dass man den Übertrag, falls einer existiert, mit in die vorhergehende Spalte übernimmt, dann passt es!

D.h. bei der \(964\) in der dritten Zeile muss der Übertrag bei der Addition von \(111\) mit in die zweite Spalte übernommen werden, was aus der \(704\) dann die \(705\) macht. Genauso bei der \(927\) in der 6. Zeile.

Und die letzte \(1\) entsteht aus dem Überlauf der Addition \(890 + 111\) (s.o. die grünen Ziffern)

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Hm... woher kommen denn die grünen Ziffern?

Und warum passt die Übertragsbeachtung nicht zu der Anleitung in der Frage?

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Hm... woher kommen denn die grünen Ziffern?

Jede Zahl (abgesehen vom Übertrag) wird aus dem drittletzten Vorgänger berechnet. Ich wollte das nur deutlich machen. Die 890 und die 001 stehen jetzt doppelt da!

Denke Dir einfach die erste Spalte hinter die dritte Spalte gesetzt. Was ja an dem System nichts ändert!

Und warum passt die Übertragsbeachtung nicht zu der Anleitung in der Frage?

da musst Du Roland fragen. Aber im Grunde ist der Übertrag völlig logisch! Ich arbeite noch an einer schlüssigen Erklärung des Effekts ...

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Zur Inspiration:$$\begin{aligned}\frac 1{729} &= \frac{1371742}{10^9-1} + \frac 1{9(10^9-1)} \\&= \frac{12345678 + 1}{9(10^9-1)} \end{aligned}$$und weiter$$\frac 1{9(10^9-1)} = 0,\overline{\underbrace{00\dots00}_{9 \times}\underbrace{11\dots11}_{9 \times}\underbrace{22\dots22}_{9 \times}33\dots\space \dots 88}$$