Zeigen Sie: Wenn (an) konvergiert, dann ist ihre Differenzfolge eine Nullfolge (d.h. sie konvergiert gegen Null).

Question

Aufgabe:

Sei (an) n∈N eine Folge. Unter der Differenzfolge der Folge (an) verstehen wir die Folge(bn) n∈N mit bn:=an+1−an für alle n∈N.

Zeigen Sie: Wenn (an)  konvergiert, dann ist ihre Differenzfolge eine Nullfolge (d.h. sie konvergiert gegen Null).

Answer 1

Aloha :)

Wir wissen, dass die Folge \(a_n\) konvergiert, ihr Grenzwert sei \(a\). Für ein gegebenes \(\varepsilon>0\) ist auch \(\frac{\varepsilon}{2}>0\) und wegen der Konvergenz gibt es ein \(n_0\in\mathbb N\), sodass:$$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{für}\quad n\ge n_0$$

Die Folge \(a_{n+1}\) konvergiert ebenefalls gegen den Grenzwert \(a\). Auch hier finden wir daher für unser \(\varepsilon>0\) von oben ein \(n_1\in\mathbb N\), sodass$$|a_{n+1}-a|<\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{für}\quad n\ge n_1$$

Für jedes beliebige \(\varepsilon>0\) gilt also für alle \(n\ge\operatorname{max}(n_0;n_1)\) mit Hilfe der Dreiecksungleichung$$|b_n-0|=|a_{n+1}-a_n|=|(a_{n+1}-a)-(a_n-a)|\le|a_{n+1}-a|+|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$Das heißt, die Folge \(b_n=a_{n+1}-a_n\) konvergiert gegen \(0\).

Answer 2

wenn a_n konvergiert, besitzt sie einen Grenzwert a

folglich ist der grenzwert b von b_n gegeben als

b=lim(n->infty) a_(n+1) - a_n=lim(n->infty) a_(n+1) - lim(n->infty) a_n = a-a=0

Answer 3

(an)  konvergiert gegen a

==> Zu jedem ε>0 gibt es ein N mit : ##

             für alle n∈ℕ gilt n>N ==> | an - a | < ε

Betrachte nun (bn) und sei ε>0 und wähle N wie in

        ## aber für ε/2 .

==>   für alle n∈ℕ gilt n>N ==>  | a_n - a | < ε/2  und | a_n+1 - a | < ε/2

                ==>   | a_n - a | + | a_n+1 - a | < ε

mit der umgekehrten Dreiecksungleichung

( sieh https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung )

folgt    ε >   | an - a | + | an+1 - a | ≥ | | an - a | - | an+1 - a | |

                                                    ≥ | (an-a) - (an+1 - a) |

                                                    = | an-an+1| = | an+1 - an |

                                                   = | bn | = | bn - 0 |

Also insgesamt   | bn - 0 | <   ε  . Also (bn ) Nullfolge.

                   | b_n - 0 |