Wie kann ich bei einer Binomialverteilung das n ermitteln?

Question

Ich verstehe folgende Aufgabe nicht und zwar ist das n gesucht und ich habe als Ansatz 1-P(x=0) = 0,95, aber komme so nicht weiter... Ich bin Dankbar für jede Hilfe!

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Zufallsvariable X: „Anzahl fehlerhafter Teile“ unter zufällig aus-gewählten Teilen kann als binomialverteilt angenommen werden. 800 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt.

Ermitteln Sie, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens ein Teil fehlerhaft ist.

Answer 1

Aloha :)

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei \(n\) ausgewählten Teilen keins fehlerhaft ist, beträgt:$$p(\text{alle \(n\) Teile ok})=0,96^n$$Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Teil fehlerhaft ist, ist das Gegenereignis dazu:$$p(\text{\(\ge1\) Teil defekt})=1-0,96^n$$Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens \(0,95\) sein:

$$\left.1-0,96^n\ge0,95\quad\right|-1$$$$\left.-0,96^n\ge-0,05\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.0,96^n\le0,05\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.n\ln(0,96)\le\ln(0,05)\quad\right|\colon\ln(0,96)\quad(\text{beachte }\ln(0,96)<0)$$$$\left.n\ge\frac{\ln(0,05)}{\ln(0,96)}=73,4\right.$$Es müssen also mindestens \(74\) Teile ausgewählt werden.

Comments

Vielen Dank! Also mein Ansatz war gar nicht so verkehrt

Answer 2

P(X≥1) ≥ 0,95

⇔ 1−P(X=0) ≥ 0,95 |−1

⇔ −P(X=0) ≥ −0,05 | ÷ (−1)

⇔ P(X=0) ≤ 0,05 

⇔ \(\begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix}\cdot 0,04^0\cdot(1-0,04)^{n−0} \) ≤ 0,05

⇔ 1 \(\cdot\) 1 \(\cdot\) 0,96ⁿ ≤ 0,05

⇔ 0,96ⁿ ≤ 0,05 | ln(...)

⇔ ln(0,96ⁿ) ≤ ln(0,05)

⇔ n \(\cdot\) ln(0,96) ≤ ln(0,05) |÷ln(0,96)

⇔ n ≥ \( \frac{ln(0,05)}{ln(0,96)} \)

⇔ n ≥ 73,38...

Es müssen also mindestens 74 Kunststoffteile zufällig ausgewählt werden