Beweis von Untervektorraum monotonie

Question

Aufgabe:

Sei \(V := \{f:\space \mathbb{R}\to \mathbb{R}\}\) der \(\mathbb{R}\)-Vektorraum der Abbildungen von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\). Welche der folgenden
Teilmengen von \(V\) sind Untervektorräume? Begründen Sie Ihre Antworten.

Wie beweise ich das es ein/kein UVR ist ?

\(U_3 := \{f:\space \mathbb{R}\to \mathbb{R} |\space f \text{ist monoton steigend}\}\)

Answer 1

Hallo :-)

Um deine zentrale Frage zu beantworten:

Wie beweise ich das es ein/kein UVR ist ?

Indem du die Untervektorraumaxiome hier nachweist/widerlegst.

1.) \(U_3\neq \{\}\)

2.) \(\forall f,g\in U_3:\space f+g\in U_3\)

3.) \(\forall (f\in U_3 \land \alpha\in \mathbb{R}):\space \alpha\cdot f\in U_3\).

Ich mache mal 1.) vor. Die Nullfunktion \(0:\space \mathbb{R}\to \mathbb{R},\space x\mapsto 0\) ist monoton steigend. Also gilt schonmal \(U_3\neq \{\}\).

Denke dran, eine monoton steigende Funktion \(f:\space \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) erfüllt stets für alle \(x,y\in \mathbb{R}\) die Eigenschaft \(x\leq y \Rightarrow f(x)\leq f(y)\).