Bestimmung des Funktionsterms

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie den Funktionsterm f(x) derjenigen ganzrationalen Funktuon dritten Grafes,...
b) deren Graph den Hochpunkt (-1|16) und den Tiefpunkt (3|-16) besitzt.

Problem/Ansatz:

Auch hier, siehe Foto, was mache ich falsch?!

Text erkannt:

b) - HP bei \( (-1 \mid 16) \) Formale Bedingungen
- TP bei \( (3-16) \) If \( f(-1)=16 \)
1. Vorgehersschith \( \quad \) If \( f^{\prime}(-1)=0 \) \( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \quad \pi f(3)=-16 \)
\( f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c \quad \) II \( f^{\prime}(3)=0 \)
\( f^{\prime \prime}(x)=6 a x+2 b \)
2. Vorgehensschritt \( I_{16}=f(-1)=a \cdot(-1)^{3}+b \cdot(-1)^{2}+c \cdot(-1)+d=-1 a-1 b-1 c+d \)
\( \Rightarrow 16=-1 a-1 b-1 c+d \)
\( \pi 0=f^{\prime}(-1)=3 a \cdot(-1)^{2}+2 b \cdot(-1)+c=-3 a-2 b+c \)
\( \Rightarrow 0=-3 a-2 b+c \)

Answer 1

Einen Fehler sah ich schon (-1)^2 = +1

also 1. Gleichung -a + b - c + d = 16

entsprechend in der 2. Gleichung.

Answer 2

Hallo Juma,

was mache ich falsch?!

\((-1)^2=1\) und nicht \(-1\). Hat mathef auch schon geschrieben.

Du kannst Dir einiges an Arbeit sparen, wenn Du berücksichtigst, dass jede kubische Funktion punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt ist. Sind Hoch- \(H\) UND Tiefpunkt \(T\) der kubischen Funktion gegeben, so liegt der Wendepunkt \(W\) demzufolge genau in der Mitte: $$W = \frac 12(H + T) = \frac 12((-1|16) + (3|-16)) = \frac 12(2|0) = (1|0)$$und jede kubische Funktion lässt sich mit bekanntem Punkt \(W(x_w|y_w)\) in der Form schreiben$$f(x) = a(x-x_w)^3 + b(x-x_w) + y_w$$also in Deinem Fall$$f(x)= a(x-1)^3 + b(x-1) \\ f'(x)= 3a(x-1)^2 + b$$Einsetzen eines der beiden Punkte gibt$$\begin{aligned} f(3) &= -16 \implies &8a+2b &= -16\\ f'(3)&=0 \implies &12a+b &=0 \\ \end{aligned}$$Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\) und ziehe die erste davon ab. Gibt:$$\implies 16a = 16 \implies a = 1, \quad b=-12 $$und ausmultipliziert:$$f(x) = (x-1)^3 - 12(x-1) \\ \phantom{f(x)} = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$$Der Plot als Bestätigung des Ergebnisses:

~plot~ {-1|16};{3|-16};[[-6|6|-20|20]];x^3 - 3x^2 - 9x + 11 ~plot~

so hat man auch viel weniger Möglichkeiten einen Rechenfehler zu machen.