Aufgabe:
Welche der folgenden Mengen \( K \subset \mathbb{R}^{2} \) sind kompakt? Begründen Sie Ihre Antwort. Der \( \mathbb{R}^{2} \) ist dabei mit der euklidischen Norm versehen.
(a) i. \( K=\bar{B}_{2}(0) \backslash \bar{B}_{1}(0) \).
ii. \( K=\bar{B}_{2}(0) \backslash B_{1}(0) \).
\( \text { iii. } \begin{aligned} K=&\left\{x_{k} \mid k \in \mathbb{N}\right\} \cup B, \text { wobei } \\ & x_{k}=\left(\begin{array}{c} \frac{1}{k} \\ \cos \frac{1}{k} \end{array}\right) \text { und } B=\left\{\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\} . \end{aligned} \)
(b) In mindestens einem der Fälle i)-iii) ist \( K \) nicht kompakt. Geben Sie in einem dieser Fälle eine Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) an, die keine in \( K \) konvergente Teilfolge besitzt.
