Welche der Mengen sind kompakt?

Question

Welche der folgenden Mengen K ⊂ R^2 sind kompakt? Der R^2 ist dabei mit der euklidischen Norm versehen.

1)  B₂ (0) ohne B₁ (0)           , dabei ist B₂  := {x von X I d(0,x) kleiner gleich 2} und B₁  das gleiche, aber mit der 1 statt 2

2)  B₂ (0) ohne C₁ (0)           , dabei ist C₁ := {x von X I d(0,x) kleiner als 1}

3)  {(1/k, cos (1/k)} (wobei k ist eine natürliche Zahl) vereinigt mit {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

In mindestens einem der Fälle i)–iii) ist K nicht kompakt. Geben Sie in
einem dieser Fälle eine Folge (xn)n∈N an, die keine in K konvergente Teilfolge besitzt.

Answer 1

1 ist nicht kompakt, da nicht abgeschlossen; denn z.B. (1;0) gehört nicht zu der

Menge K (weil in B1) , aber jede Umgebung davon enthält Punkte von K.

Und z.B. die Folge der Punkte ( 1+1/n ; 0 ), die alle in K liegen,

konvergiert gegen (1;0) ∉ K.

Bei 2 ist K beschränkt und abgeschlossen, also kompakt.

Comments

Vielen Dank, mathef.