Bestimmen Sie die Gleichung der Ortslinie der Extrema.

Question

Text erkannt:

20. Gegeben ist die Kurvenschar \( f_{a}(x)=e^{2 x}-a \cdot e^{x}, a>0 . \)
a) Untersuchen Sie \( f_{a} \) auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und das Verhalten für \( x \rightarrow \pm \infty \)
b) Zeichnen Sie die Graphen \( \mathrm{f}_{2} \) und \( \mathrm{f}_{3} \) für \( -3 \leq \mathrm{x} \leq 1,2 \).
c) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortslinie der Extrema.
d) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \). Berechnen Sie für \( \mathrm{a}>1 \) den Inhalt der Fläche schlossen wird.

A,B,C und D bitte mit Rechenweg

Comments

Hallo, vielleicht verrätst du uns erst einmal, wo genau deine Probleme liegen. Berechnen der Nullstellen, Bildung der Ableitungen?

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Ich verstehe das Thema nicht, deshalb kann ich keines von ihnen machen.

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Du weißt aber schon, wie man eine "normale" Kurvendiskussion durchführt?

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Ja ich weiß ein bisschen

Answer 1

Dann werden wir mal sehen, was "ein bisschen" ist.

\(f_a(x)=e^{2x}-a\cdot e^x\)

kann man auch schreiben als

f_a(x)=e^x\cdot(e^x-a)

Für die Nullstellen setzt du die Funktion = 0

f_a(x)=e^x\cdot(e^x-a=0)

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.

Also \(e^x=0 \quad \text{oder}\quad e^x-a=0\)

\(e^x\) wird nie null, also bleibt noch \(e^x-a=0\)

\(e^x=a\\x=ln(a)\)

Wenn du das verstanden hast, kann du dich an den Extremstellen versuchen.

Dazu verrate ich dir die 1. Ableitung:

\(f'_a(x)=e^x\cdot(2e^x-a)\)