Welches Kriterium könnte ich jetzt anwenden? Quotientenkriterium = 1

Question

Gegeben ist folgende Reihe:

\( \sum \limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{3}{n+3}-\frac{3}{n+4}\right) \)

Entscheiden Sie, ob die Reihe konvergent ist. Zudem sollen Sie den Grenzwert bestimmen, falls dieser gegeben ist.

Mein Plan:

Ich habe es mit dem Quotientenkriterium ausgerechnet. Habe aber leider eine 1 als Ergebnis bekommen.

Das heißt ja: "Keine Aussage". Welches Kriterium könnte ich jetzt anwenden?

Answer 1

Schreib die ersten Glieder auf:

3/5 -3/6+3/6-3/7+3/7-...

Bis auf 3/5 fällt alles weg -> Summe = 3/5

Comments

Aber was sagt das über die konvergents aus?

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Die Summe konvergiert gegen 3/5.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+3%2F%28n%2B3%29-3%2F%28n%2B4%29+from+2+to+infinite

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ja stimmt. Der Grenzwert ist 3/5 und sie konvergiert.

Aber wie kommst du nochmal auf die 3/5?

Muss man nicht eins dieser Kriterien anwenden?

Diese Formel kann man nicht anwenden oder:

\( S=a_{1} \cdot \frac{1}{1-q} \)

Answer 2

Aloha :)

Hier kannst du die Summe in zwei Summen aufspalten und den Index verschiebn

$$\phantom{=}\sum\limits_{n=2}^\infty\left(\frac{3}{n+3}-\frac{3}{n+4}\right)=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{3}{n+3}-\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{3}{n+4}$$$$=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3}{(n+1)+3}-\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{3}{n+4}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3}{n+4}-\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{3}{n+4}$$$$=\left(\frac{3}{1+4}+\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{3}{n+4}\right)-\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{3}{n+4}=\frac{3}{5}$$