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Aufgabe:

Sinus hyperbolicus in der Taylorreihe beweisen


Problem/Ansatz:

ich finde das thema sehr ineressant, kann aber den Weg nicht herleiten

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-x)^n}{n!}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x^n}{n!}-\frac{(-x)^n}{n!}\right)$$Für alle geraden \(n\) ergibt die Klammer \(0\), daher betrachten wir nur alle ungeraden \(n=2k-1\) weiter:$$\sinh(x)=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}-\frac{(-x)^{2k-1}}{(2k-1)!}\right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}\right)$$$$\phantom{\sinh(x)}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}$$

Avatar von 152 k 🚀

Hallo, danke!

Was passiert in der ersten Zeile? Das habe ich schon einmal im Internet gefunden. Wocher kommt Differenz der Summen?

Mit freundlichen Grüßen

Liza

In der ersten Zeile habe ich die Definition der Sinus-Hyperbolicus-Funktion$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$hergenommen und den Bruch zerlegt:$$\sinh x=\frac{e^x}{2}-\frac{e^{-x}}{2}$$Dann habe ich die Potenzreihe der \(e^x\)-Funktion$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$$verwendet und eingesetzt:$$\sinh x=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-x)^n}{n!}$$Der Rest sind dann algebraische Umformungen.

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