Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
$$\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-x)^n}{n!}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x^n}{n!}-\frac{(-x)^n}{n!}\right)$$Für alle geraden \(n\) ergibt die Klammer \(0\), daher betrachten wir nur alle ungeraden \(n=2k-1\) weiter:$$\sinh(x)=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}-\frac{(-x)^{2k-1}}{(2k-1)!}\right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}\right)$$$$\phantom{\sinh(x)}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}$$