Extremwerte, lokales minimum, newtonverfahren -höhere mathematik

Question

Es sei f eine Funktion auf R≥0, wobei f(x) = x^x für x > 0 und f(0) = lim x→+0 x^x = 1.

a) approximieren Sie ein lokales Minimum von f durch das Minimum (px,py) des Polynoms p vom Grad 2, welches mit f an den Stellen 0, 1 und 2 übereinstimmt

b) Bestimmen Sie näherungsweise f^−1 (2), indem Sie dafür 3 Schritte des Newtonverfahrens mit Start in x0 = 1 ausführen, um numerisch die Nullstelle für f(x) − 2 anzunähern. Es ist ausreichend das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Komma zu runden

Answer 1

Es sei f eine Funktion auf R≥0, wobei f(x) = xx für x > 0 und f(0) = lim x→+0 xx = 1.
a) approximieren Sie ein lokales Minimum von f durch das Minimum (px,py) des Polynoms p vom Grad 2, welches mit f an den Stellen 0, 1 und 2 übereinstimmt

g ( x ) = a * x^2 + b*x + c
g(x) = f(x)
f (0) = 0^0 = 1
f (1) = 1^1 = 1
f (2) = 2^2 = 4

g
( x | y )
( 0 | 1 )
( 1 | 1 )
( 2 | 4 )

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen
g ( x ) = 1,5·x^2 - 1,5·x + 1
g ´( x ) = 3 * x - 1.5
Minimum
3 * x - 1.5 = 0
x =.0.5
y = f ( 0.5 ) = 0.625

Bei Bedarf nachfragen

Answer 2

approximieren Sie ein lokales Minimum von f durch das Minimum (px,py) des Polynoms p vom Grad 2, welches mit f an den Stellen 0, 1 und 2 übereinstimmt

Na, dann gehe mal ein wenig in Vorleistung. Wir steigen dann ein, wenn es klemmt.

Welche Werte haben f(0), f(1) und f(2)?