Es sei X ein metrischer Raum mit Metrik d.

Question

Hat jemand einen Tipp für die Aufgabe?

Es sei X ein metrischer Raum mit Metrik d. Für zwei Mengen A, B ⊆ X bezeichne dist(A, B) = inf {d(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} die Distanz zwischen A und B.

(a) (7P) Es seien A ⊆ X abgeschlossen und B ⊂ X kompakt mit A ∩ B = ∅.
Zeigen Sie, dass dist(A, B) > 0.
(b) (3P) Geben Sie im Fall X = R^2 zwei abgeschlossene Mengen A, B ⊆ R^2 an,
für die A ∩ B = ∅ und dist(A.B) = 0 gelten.

gruß GustavDerBraune

Comments

Hello bei der a) könntest du vielleicht mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten. Zum Beispiel so: Angenommen dist(A,B)=0, dann existiert eine Folge a(n) aus A und b(n) aus B mit d(a(n),b(n))<Epsilon für alle epsi. > 0. Angenommen an und bn sind konvergent gegen a und b, dann gilt d(a,b) < d(an,a) + d(bn,b) < epsilon. Dann ist aber a=b, das heiß aber da A und B abgeschlossen sind, dass a in A und B liegen muss -> Widerspruch zur annahme das der Schnitt leer ist.

Bei der b) muss ich nochmal schauen

Ist nur alles so eine erste Idee

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Die erste Idee ist bis auf die Formulierung auch gar nicht so schlecht. Da b(n) eine Folge in einem Kompaktum ist, enthält es eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert b* in B.

Da d(a(n),b(n)) Gegen 0 konvergiert, konvergiert auch d(a(n),b*) Gegen 0. Insb ist a(n) eine konvergente Folge mit Grenzwert b*. Der muss also auch in A liegen. Widerspruch.

bei b) muss man unbeschränkte abgeschlossene Mengen wählen. Man kann zB Hypographen und Epigraphen stetiger Funktionen betrachten,