0 Daumen
843 Aufrufe

Hat jemand einen Tipp für die Aufgabe?

Es sei X ein metrischer Raum mit Metrik d. Für zwei Mengen A, B ⊆ X bezeichne dist(A, B) = inf {d(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} die Distanz zwischen A und B.

(a) (7P) Es seien A ⊆ X abgeschlossen und B ⊂ X kompakt mit A ∩ B = ∅.
Zeigen Sie, dass dist(A, B) > 0.
(b) (3P) Geben Sie im Fall X = R^2 zwei abgeschlossene Mengen A, B ⊆ R^2 an,
für die A ∩ B = ∅ und dist(A.B) = 0 gelten.


gruß GustavDerBraune

Avatar von

Hello bei der a) könntest du vielleicht mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten. Zum Beispiel so: Angenommen dist(A,B)=0, dann existiert eine Folge a(n) aus A und b(n) aus B mit d(a(n),b(n))<Epsilon für alle epsi. > 0. Angenommen an und bn sind konvergent gegen a und b, dann gilt d(a,b) < d(an,a) + d(bn,b) < epsilon. Dann ist aber a=b, das heiß aber da A und B abgeschlossen sind, dass a in A und B liegen muss -> Widerspruch zur annahme das der Schnitt leer ist.

Bei der b) muss ich nochmal schauen

Ist nur alles so eine erste Idee

Die erste Idee ist bis auf die Formulierung auch gar nicht so schlecht. Da b(n) eine Folge in einem Kompaktum ist, enthält es eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert b* in B.

Da d(a(n),b(n)) Gegen 0 konvergiert, konvergiert auch d(a(n),b*) Gegen 0. Insb ist a(n) eine konvergente Folge mit Grenzwert b*. Der muss also auch in A liegen. Widerspruch.

bei b) muss man unbeschränkte abgeschlossene Mengen wählen. Man kann zB Hypographen und Epigraphen stetiger Funktionen betrachten,

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community