Rekursionsgleichung für das Integral ableiten

Question

Aufgabe:

a) Leiten Sie eine Rekursionsgleichung für das Integral
\( I_{n}:=\int \limits_{0}^{\infty} t^{n} e^{-t} d t \)
mit \( n \in \mathbb{N} \) her und bestimmen Sie hiermit eine explizite Formel für \( I_{n} \).
b) Leiten Sie eine Rekursionsgleichung für das Integral
\( J_{n}:=\int \limits_{0}^{\infty} \sin ^{n}(t) \cdot e^{-t} d t \)
mit \( n \in \mathbb{N} \) her und berechnen Sie \( J_{0}, \ldots, J_{4} \).

Problem/Ansatz:

Hey kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen? Habe keine Ahnung wie ich hier anfangen soll.:(

Answer 1

Hallo

erst mal a)

partielle Integration mit t^n=u u'=n*t^n-1 und v'=e^-t v=-e^-t

erzeugt das Integral I_n-1

dazu benutzen  t-> oo  e-t*t^n=0

Gruß lul

Answer 2

zu a)

Mit partieller Integration findest du heraus, dass du \(\int \limits_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} d t \) (eventuell noch versehen mit einem konstanten Faktor) berechnen musst.

Wenn du DAS mit partieller Integration machst kommst du auf ein zu berechnenden Integral der Form \(\int \limits_{0}^{\infty} t^{n-2} e^{-t} d t \).

Das macht man nun so oft, bis die Potenz \( t^{0}  \) (=1) erreicht ist und das Integral \(\int \limits_{0}^{\infty} t^{0} e^{-t} d t \) einfach nur als\(\int \limits_{0}^{\infty}  e^{-t} d t \) direkt berechenbar ist.