Hallo Asg,
ich habe inzwischen mehr heraus bekommen. Zunächst habe ich das erste gute Dutzend Werte berechnet. Die Folge für die \(a_k\) ist:
$$a_k = \{ 1, 1, 3, 2, 6, 6, 11, 16, 22, 37, 49, 80, 113, 172, 257, 377, ... \}$$
Wenn man nun davon ausgeht, dass ein beliebiges \(a_k\) eine Linearkombination seiner Vorgänger ist, so kann man folgendes Lineares Gleichungssystem mit 4 unbekannten Koeffizienten \(\vec{b} = (b_{-4}; b_{-3}; b_{-2}; b_{-1})^T\) aufstellen. Mit 2 und 3 klappt es nicht, das führe ich hier nicht weiter aus. Dann wäre:
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 2\\ 1 & 3 & 2 & 6\\ 3 & 2&6&6 \\ 2&6&6&11\end{pmatrix} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 6\\ 6\\ 11 \\ 16\end{pmatrix}$$
Die Gleichung führt zur Lösung:
$$\vec{b} = \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 2\\ 0\end{pmatrix}$$
Daraus folgt, dass sicher für die Glieder \(a_4\) bis \(a_7\) gilt, dass
$$a_k = 2a_{k-2} + a_{k-3} - a_{k-4}$$
und dies stimmt auch für alle weiteren Folgeglieder, die ich berechnet habe. Wobei das natürlich kein Beweis ist, dass es für alle weiteren \(a_k\) mit \(k \in \mathbb{N}\) richtig ist!
Die Folgen von \(e_k\) und \(n_k\) verhalten sich nach dem gleichen Schema; haben aber andere Startwerte - die Folgen sind daher nicht gleich.
Dann habe ich die Folge noch in der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen gefunden. Sie ist in dem Buch "Combinatorial Enumeration" von Ian P. Goulden und David M. Jackson beschrieben.
Gruß Werner
