Potenzreihe. a(x):= ∑(1+k)x^k . Behauptung a(x) = (1-x)^2 für x aus (-1,1).

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( a:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R} \) sei durch

$$ a(x):=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(1+k) x^{k} $$

definiert. Zeigen Sie, dass \( a(x)=(1-x)^{2} \) für alle \( x \in(-1,1) \) gilt.

Comments

Kombiniere z.B. https://www.mathelounge.de/80926/zeigen-sie-fur-z-1-1-z-∑-n-z-n-z-1-z

mit der Summenformel für geometrische Reihen für ∑x^k  = 1/(1-x)

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Soll ich einfach (1-x) drunter setzen? Also (1+k)/(1-x)?

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Ich habe a=(1-x)^{-2} raus, statt a(x) = (1-x)^2

Answer 1

Potenzreihe. a(x):= ∑(1+k)x^k . Behauptung a(x) = (1-x)² für x aus (-1,1)

Kombiniere z.B. https://www.mathelounge.de/80926/zeigen-sie-fur-z-1-1-z-∑-n-z-n-z-1-z

mit der Summenformel für geometrische Reihen für ∑x^k  = 1/(1-x)

Ergibt somit

a(x):= ∑(1+k)x^k
=∑x^k + ∑kx^k        |erste Summe geometrische Reihe mit a1=0
                              |zweite Summe: erster Summand 0. Dann wie in Link

= + 1/(1-x) + x/(1-x)^2  = x/(1-x)^2  + (1-x)/(1-x)^2 = 1/(1-x)^2 = (1-x)^{-2}

Achtung: Ich bekomme so a(x) = (1-x)^{-2}

Vielleicht findest du den Fehler (in der Fragestellung oder in der Umformung)

Comments

Rechnung im Link nochmals:

∑x^n = 1/(1-x)        |Summe ab n=0            , ableiten
∑nx^{n-1} = - (-1)/(1-x)^2 = 1/(1-x)^2      |Summe ab 0   |*x

x∑nx^{n-1} = x /(1-x)^2             |Distr.gesetz

∑nx^{n} = x /(1-x)^2

Stimmt mE.

Damit oben weiter bei:
Ergibt somit...
Ich nehme nun an, dass die Fragestellung falsch war ;)

(1-x)^2 = 1-2x+x^2 braucht doch keine Potenzreihe. Oder?

Vgl. auch https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%281-x%29%5E2+series