analysis 1: Konvergenzradien folgender Potenzreihen: ∑ (n!/n^n) x^n

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:

1. \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}} x^{n} \)

2. \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}} x^{n} \)

3. \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}} x^{n} \)

4. \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n^{2}} \)

Answer 1

1) Quotientenkriterium liefert

$$\frac{| a_{n+1} |}{| a_n |} = \frac{(n+1)! n^n}{(n+1)^{n+1} n!} |x| = \frac{n^n}{(n+1)^n} |x| = ( \frac{n}{n+1})^n |x| = \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n} |x| \rightarrow \frac{1}{e} |x| < 1 \Leftrightarrow |x| < e \Rightarrow R = e$$


3) Wurzelkriterium liefert

$$\sqrt[n]{| a_n | } = \sqrt[n]{| \frac{1}{n^n} x^n |} = \frac{1}{n} |x| \rightarrow 0 < 1 \Rightarrow R = \infty$$

Comments

Wie kommst du auf ein e?

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Ich mache die anderen Aufgaben gerade. Es ist per Definition \( (1+\frac{1}{n})^n = e \), wenn man n gegen unendlich streben lässt.