Aloha :)
Dein Ansatz stimmt, allerdings hast du bei der Anwendung der geometrischen Reihe übersehen, dass ihr Summationsindex bei \(0\) beginnt. Hier jedoch beginnt der Summationsindex bei \(1\). Nach \(n\) Jahren gilt für die Mitarbeiteranzahl:
$$M(n)=500\cdot0,95^n+100\sum\limits_{k=1}^n0,95^k=500\cdot0,95^n+100\sum\limits_{k=0}^{n-1}0,95^{k+1}$$$$\phantom{M(n)}=500\cdot0,95^n+100\cdot0,95\sum\limits_{k=0}^{n-1}0,95^{k}=500\cdot0,95^n+95\cdot\frac{1-0,95^n}{1-0,95}$$Nach unendlich vielen Jahren beträgt die Mitarbeiter-Anzahl also:$$M(\infty)=\frac{95}{1-0,95}=95\cdot20=1900$$