Berechnen für Limiten / konvergente reelwertige Folge

Question

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand sagen, wie man diese Aufgaben löst? Ich bin am verzweifeln..

Text erkannt:

Aufgabe 5. (Rechenregeln für Limiten, \( 5+5=10 \) Punkte \( +5 \) Bonus)
1. Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine konvergente reellwertige Folge. Zeigen Sie \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist beschränkt, das heißt es gibt ein \( S \in \mathbb{R} \), sodass \( \left|a_{n}\right| \leq S \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Hinweis: Sei a der Grenzwert. Nach Definition von Konvergenz findet man für \( \epsilon>0 \) ein \( N \in \mathbb{N} \), sodass \( \left|a_{n}-a\right|<\epsilon \) für \( n>N . \) Zeigen Sie dass \( S=\max \left(\left|a_{1}\right|, \ldots,\left|a_{n}\right|,|a|+\epsilon\right) \) die Folge
beschränkt. Nutzen sie bei Ihren Abschätzungen gegebenenfalls die Dreiecksungleichung.
2. Es seien \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) reellwertige konvergente Folgen. Zeigen Sie, es konvergiert auch \( p_{n}=a_{n} \cdot b_{n} \) und es gilt
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} p_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \cdot \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} $$
Hinweis: Sei a (bzw. b) der Grenzwert der Folge \( a_{n} \) (bzw. \( \left.b_{n}\right) \). Nach definition von Konvervegenz finden man für alle \( \epsilon>0 \) natürliche Zahlen \( N_{a}, N_{b} \), sodass \( \left|a-a_{n}\right| \leq \epsilon \) für alle \( n>N_{a} \) und \( \left|b-b_{n}\right| \leq \epsilon \) für alle \( n>N_{b} . \) Setze \( N=\max \left(N_{a}, N_{b}\right) . \) Nutzen Sie die Dreiecksungleichung um zu zeigen, dass für \( n>N \) gilt
$$ \left|a b-a_{n} b_{n}\right|=\left|a b-a_{n} b+a_{n} b-a_{n} b_{n}\right|<C \cdot \epsilon $$
wobei ein Konstante \( C \) unabhängig von \( n \) und \( \epsilon \) ist.

Wäre euch unendlich dankbar!

Answer 1

Aloha :)

Schritt 1: Jede konvergente Folge \((a_n)\) ist beschränkt.

Wegen \((a_n)\to a\) gibt es ein \(n_0\), sodass \(|a_n-a|<1\) für alle \(n\ge n_0\). Daher gilt:$$|a_n|=|a+a_n-a|\stackrel{(\ast)}\le|a|+\underbrace{|a_n-a|}_{<1}<|a|+1\quad;\quad n\ge n_0$$wobei wir im Schitt \((\ast)\) die Dreiecksungleichung verwendet haben.

Mit \(S\coloneqq\max\{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_{n_0-1}|, (|a|+1)\}\) gilt daher \(|a_n|\le S\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).

Schritt 2: Das Produkt zweiter konvergenter Folgen konvergiert gegen das Produkt der Grenzwerte. Formal ist also zu zeigen, dass:$$(a_n)\to a\text{ und }(b_n)\to b\quad\implies\quad (a_nb_n)\to ab$$

Nach Schritt 1 sind \((a_n)\) und \((b_n)\) beschränkt, d.h.$$|a_n|\le S_a\quad;\quad |b_n| \le S_b\quad\text{für alle }n\in\mathbb{N}$$Wir setzen \(S\coloneqq\max\{S_a,S_b\}\). Wegen der Konvergenz der Folgen gibt es zu jedem \(\varepsilon>0\) natürliche Zahlen \(n_a\) und \(n_b\), sodass$$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2S}\;\;\text{für}\;\;n\ge n_a\quad;\quad |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2S}\;\;\text{für}\;\;n\ge n_b$$Für alle \(n>=\max\{n_a,n_b\}\) gilt dann mit der Dreiecksungleichung:$$|\,a_nb_n-ab\,|=|\,a_n(b_n-b)+(a_n-a)b\,|\stackrel{(\ast)}\le|\,a_n\,|\cdot|\,b_n-b\,|+|\,a_n-a\,|\cdot|\,b\,|$$$$\phantom{|a_nb_n-ab|}<S\frac{\varepsilon}{SM}+\frac{\varepsilon}{2S}S=\varepsilon\quad\checkmark$$Daher konvergiert die Produktfolge: \((a_n\cdot b_n)\to a\cdot b\).

Comments

mahalo mahalo mahalo mahalo mahalo <33333 Auch für die Erklärung vielen dank!