Bestimmen Sie für die gegen Null konvergente Folge an= n/(3n^2 -42) ein N.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die gegen Null konvergente Folge a_n= n/(3n^2 -42) ein N.

Comments

Vielleicht solltest Du die Aufgabe vollständig zitieren?

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Ja, Mathhilf, gute Idee.

Ansonsten biete ich N=4711 an ;-)

Answer 1

Du musst also ein \(N\) finden, so dass \(|a_n| \le \varepsilon\) für alle \(n\ge N\).

Für \(n\ge 5\) ist \(a_n\ge 0\), was uns von den Betragsstrichen befreit. Erste Erleichterung.

Zweite Erleichterung: Finde ein \(b_n \ge a_n\), das immer noch Nullfolge ist und für das sich das \(N\) leichter finden lässt (und das \(N\) für \(b_n\) tut's auch für \(a_n\)). Da gibt es nicht nur eine Möglichkeit. Eine wäre: benutze im Nenner die Abschätzung \(42\le n^2\), die ja ab \(n\ge 7\) erfüllt ist.

Comments

Für n ≥ 5 ist a_n ≥ 0

Eigentlich eher für n ≥ 4, aber für n ≥ 5 gilt es natürlich auch.

Answer 2

Hallo :-)

Man kann auch so herangehen:

Ich betrachte für alle \(n\in \N_{\geq 5}\) :

$$ \frac{n}{3n^2-42}=\frac{n}{3\cdot (n^2-14)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{n}{n^2-14}=\frac{1}{3}\cdot \frac{n}{\underbrace{(n+\sqrt{14})}_{\geq n}\cdot (n-\sqrt{14})}\\\leq \frac{1}{3}\cdot \frac{n}{n\cdot (n-\sqrt{14})}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\underbrace{n-\sqrt{14}}_{\geq n-4}}\leq \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{n-4}\stackrel{n\in \N_{\geq 5}}{\leq} \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\frac{1}{6}\cdot n}=\frac{2}{n}\stackrel{n\geq N_{\varepsilon}\geq 5}{\leq } \frac{2}{N_{\varepsilon}}\stackrel{!}{<} \varepsilon $$

Und damit kann man einen finalen Konvergenzbeweis durchführen:

Sei \(\varepsilon>0\) beliebig und wähle \(N_{\varepsilon}\in \N_{\geq 5}\) durch \(N_{\varepsilon}>\frac{2}{\varepsilon}\) (so eins existiert aufgrund des archimedischen Axioms). Dann gilt für alle \(n\in \N_{\geq N_{\varepsilon}}\)

$$ |a_n|=...[\text{obige Rechnung}]...<\varepsilon $$