Bestimmtes Integral: Berechnung der zwischen f(x)=x^3-4x und g(x)=5x eingeschlossenen Fläche

Question

1.Berechne die Maßzahl der Fläche, die die Funktionsgraphen von       ( Was ist mit Maßzahl der Fläche gemeint ?)

 

f(x)=x^3-4x

 

und

 

g (x)=5x

 

miteinander einschließen.

 

2.Berechne das bestimmte Integral 

a)∫₁ ^{2 ⟨}(-x^2-6x+4)dx

 

b)∫₀³   (2-x)^2 dx

Comments

 ( Was ist mit Maßzahl der Fläche gemeint ?)

Das sind Quadrateinheiten oder Häuschen im Koordinatensystem. Man verzichtet hier also auf cm, mm etc.

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Weißst du auch wie die Aufgabe geht ?

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"Was ist mit Maßzahl der Fläche gemeint ?"

Das wird wohl ein anderes Wort für Flächeneinheiten sein.

P.S. Eigenartig, vor einer Minute war hier noch kein Kommentar zu sehen. Kaum antworte ich im Kommentar, lade die Seite neu und auf einmal erscheint ein 5 Minuten altes Kommentar von Lu *kopfkratz*

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Du brauchst die Schnittpunkte der beiden Graphen, dann hast du die notwendigen Integrationsgrenzen.

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Wie siehts aus mitt berechnung der Aufgabe ?

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Willst du das denn jetzt nicht mal selbst versuchen? Dir anhand der Skizze einen Lösungsweg überlegen ?

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Funktionsgleichungen gleichsetzen

x^3 - 4x = 5x

Schnittpunkte berechen, die Schnittpunkte sind -3, 0, 3.

Damit hast du die Integrationsgrenzen -3, 3.

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Da es ja zwei Funktionen sind , hab ich die zwei Funktionen gleichgesetzt und

So ausgerechnet:

=x^3 - 4x= 5x       / -5x

=x^3 -4x -5x = 0

=x^3 -9x

= x *( x^2 -9)                      1.Nullstelle : x= 0

=x^2 -9      / +9

=x^2    = 9      / √

= - 3 , 3                                 2 .Nullstelle  x= -3       3. Nullstelle x= 3

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Jetzt muss ich ja intergrieren von -3 zu 0 und dann von 0 zu 3 ????

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Eine Möglichkeit ist von 0 bis 3 zu integrieren und die Symmetrie auszunutzen, also das Ergebnis dann mit 2 zu multiplizieren.

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Genau , dies hab ich auch gedacht. Wenn man den Verlauf sich vorstellt dann kommt es ja vom Negativen ins Positive und von Null wieder zu 3  ( nennt man ja achsensymmetrisch , oder?)

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Achsensymmentrisch? Nö. :P

http://www.mathematik.net/symmetrie/s01s20.htm

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Ja , aber kürzlich hab ich es irgendwo gelesen.


Achsensymmetrie behandelt man ja bei der Kurvendiskussion. lol


Aber ich muss jetzt beim Thema zu bleiben. Die beiden Funktionen einzeln intergrieren , indem ich deren Stammfunktion ausfindig mache und einfach Einsetze . Ich mach mal jetzt einfach

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Ja, mach jetzt mal einfach! :thumbs up:

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Ok ich hab die Stammfunktion aufgestellt
 für beide Funktionen !

 

x^3 -4x  => 1/4 x^4-2x^2

5x   => 2,5x^2                     (1. Frage brauche ich die zwei Funktionen integrieren ?)

 

∫_-3⁰        1/4 * (-3) ^4 - 2*(-3)^4- (( 1/4(0)^4 - 2(0)^4

 

aufgelöst und zusammengefasst => 20,25 -162 - (0)

Ergibt : 141,75

 

∫₀³    1/4 (0)^4 -2(0)^4-(( 1/4 (3)^4 -2(3)^4

= aufgelöste, Vorzeichen nach Klammerauflösung gedereht und zusammengefasst .

= -20,25+ 162

 

Ergibt +141,75

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Da hast du wohl etwas zu viel an den Vorzeichen gedreht.

Das Integral von x^3 - 4x in den Grenzen von 0 bis 3 sind  9/4 FE
Das Integral von 5x in den Grenzen von 0 bis 3 sind 90/4 FE

Übrig bleiben 81/4 FE in den Grenzen von 0 bis 3
Aufgrund der Symmetrie ergibt das eine eingeschlossene Fläche von 162/4 FE = 40.5 FE

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Kannst du mir nicht dies man ausführlich zeigen , bitte ?

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Was ist denn unklar?

Berechne doch separat das integral von x³ - 4x in den Grenzen von 0 bis 3 und

das Integral von 5x in den Grenzen von 0 bis 3.

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haha, ich konnts mir schon denken , ich hab zwar für die beiden Funktionen , die Stammfunktion erstellt .


Aber hab nur für  in die erste Stammfunktion von den beiden Funktionen , die Werte eingesetzt also auch nur -3 zu 0 .


Bei der zweiten Funktion, hab ich zwar die Stammfunktion aufgestellt aber nicht eingesetzt und berechnet.

Answer 1

∫x³ - 4x dx = x^4/4 - 2x^2 + C₁

[x^4/4 - 2x^2] in den Grenzen von 0 bis 3 = 3^4/4 - 2*3^2 = 9/4 FE

∫5x dx = 5/2 x^2 + C₂

[5/2 x^2] in den Grenzen von 0 bis 3 = 5/2 3^2 = 45/2 = 90/4 FE

Der Betrag der eingeschlossenen Fläche von x=0 bis x=3 sind also 90/4 FE - 9/4 FE = 81/4 FE

Wegen der Symmetrie ist der Betrag der eingeschlossenen Fläche insgesamt 2*81/4 FE = 162/4 FE.

Comments

Ich hab den Fehler erkannt , es sind nicht die Vorzeichendrehungen sondern der Schriftzug ist falsch.

Durch die schnelle Schreibung , den Exponenten mir falsch notiert habe und deshalb ist das   Endergebnis fehlerhaft . Hinzu kommt die fehlende zweite Stammfunktion.

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"Ich hab den Fehler erkannt"

Das ist gut. Ich war offengestanden zu faul zum Kontrollieren, aber die Hauptsache ist ja, dass du den Fehler entdeckt hast.

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allein schon die frage, wo hast du den schwierigkeiten , gab mir auskunft, dass du gerade net so lust hast. es tut mir außerordentlich leid es dir sagen zu müssen , aber ich hab zwar jetzt rumgerechnet , aber der fehler ist noch net weg . trotz korrekturinitative:(

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Okay, zeig mal was du gerechnet hast und dann gucke ich mir das genauer an.

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\(
\left [ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right ]^3_0 -  \left [ \frac{5}{2} x^2  \right ]^3_0 = \\
\frac{3^4}{4} - 2\cdot 3^2 - \frac{5}{2} \cdot 3^2 = \\
\frac{81}{4} -18 - \frac{45}{2} = \\
\frac{81}{4} - \frac{72}{4} - \frac{90}{4} = \\
-\frac{81}{4} FE
 \)
$$
$$
Uns interessiert der Betrag
$$
$$
\(
\left |-\frac{81}{4} FE \right | = \frac{81}{4} FE
 \)
Das multiplizieren wir mit 2 und erhalten das gesuchte Ergebnis.

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Also :


x^3-4x    =>   1/4x^4- 2x^2


5x=>  2,5x^2


1/4 (-3)^4 - 2(-3)^2       - 0        = 20,25 - 18  = 2,25


2,5 (-3)^2      -0  = 22,5

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x³-4x    =>   1/4x⁴- 2x²

^nope.

x³-4x    =>   x⁴/4 - 2x²

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warum dies denn wir haben es so gelernt , wenn x^3 steht , dann ist der nächst größste x^4


vor x^3 steht eine 1       und wenn man eine Stammfunktion sucht , schaut man auf die nächst größere Zahl dies wären vier und  , dies nehmen wir als Unkehrfunktion * 1/4 wäre es


1 * 1/4 = 1/4


Wenn wir die Probe machen, dann ist 1/4 x^4 abgeleitet .


1/4 : 4/1 = dies ergibt ??????    Natürlich 1x^3
Zur Probe  mal ableiten , dann siehst du es :)

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ja, du hast recht, ich habe 1/4x⁴- 2x²  falsch interpretiert, es ist aber dasselbe wie   x⁴/4 - 2x²

also alles in butter.

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Alles im Butter ??? Trotz verschiedener Ergebnisse ??? Nichts im Butter sondern es ist eine kleine Katastrophe :'(


Wieso hast du was anderes raus ?

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@rennu: Kontrolliere damit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate+%28x%5E3-4x+-5x%29+from+0+to+3

Der macht keine Rechenfehler.
Das Resultat nimmst du ohne MINUS und rechnest die Fläche noch mal 2.

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"Alles im Butter ??? "

Jepp!!!

"Trotz verschiedener Ergebnisse ???"

Wieso verschieden?!

Du hast doch die Integrale separat berechnet, jetzt musst du die Zwischenergebnisse weiter verarbeiten:

22,5 FE - 2,25 FE = 20,25 FE

Das nimmst du mal zwei und fertig ist die Kiste.

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Ja , der Taschenrechner hat das richtige Ergebnis heraus gespuckt , den ich auch mal auf meinem Taschenrechner hatte.

PS : Ich danke dir für die Zeitinvestierung :P  , wie ist es wenn es nicht symmetrisch verläuft ?

Dann muss man ja theoretisch immer ausrechnen , wenn es zwei Funktionen sind

Ich tue hier nur nicht Hausaufgaben machen, sondern auch den Stoff auffrischen, deshalb finde ich es besser , wenn man den Rechenschritt sieht und auch beim nächsten reinschauen anhand dessen es bearbeiten kann. Weil es nützt nichts , mir  oder andere, weil man dadurch nicht den Fehler sofort erkennen kann. Es erschwert es nur, weil es auch so unübersichtlich ist.

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Schön, dass wir uns doch noch einig geworden sind.
Einen Taschenrechner brauchst du bei dieser Aufgabe aber nicht.

Und, den Rechenschritt habe ich für dich sogar noch extra in Latex getippt, haste übersehen?!

Wenn wir keine Symmetrie hätten, müssten wir jeweils von -3 bis 0
und von 0 bis 3 integrieren, die Beträge bilden und die Ergebnisse addieren.

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ach göttchen wie süß ! er hat sogar noch latex getippt , ich drück dich ganz doll  ;D


Es werden noch weitere Fragen folgen - demnächst ! also nicht sich verschanzen sondern einsatzbereit sein :)

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Ja, das ist süß.

Noch süßer wäre es gewesen, wenn du dir das angeguckt und deine grauen Zellen in Schwung gebracht hättest, dann hätten wir eine Menge unnötige Tipperei gespart.

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@rennu: Zum Dank dürftest du nun gorgar  den Stern geben und mal danken. Ohne faule Sprüche.

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@rennu & Lu:

Ich pflichte Lu bei: Eine stundenlange Beschäftigung mit einer Frage hätte wirklich ein wenig Anerkennung und Dank verdient !!

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Wieso graue Zellen :) Ich hab ja es andauernd ausgerechnet , aber wollt halt net.

Ich weiß ja , wir saßen echt drei Stunden daran.

Am Schluss weiß ich nun , was Sache ist . DDDDDDAAAAAAANNNNNKKKKKKKKEEEEEEEEEEE


Faule Sprüche , Lu, dies war leicht ironisch geschrieben , der letzten Satz , der an gorgor gerichtet war. lol


Aber wenigstens kommt er nicht so zickig rüber wie du.


um meine graue Zellen aufzufrischen, frage ich auch Leute, die besser darin sind.

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@Lu, @Brucybabe: danke Jungs! :-)

@rennu: danke für den Stern. :-)

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Aso, dies war nicht ganz ohne :) Hat man dem Moderator unter die Arme gegriff.

Ich wollte dir erst moin den Stern geben, wenn ich doch noch irgendwelche Fragen hab.

Aber Lu & B. sind ja in die Einforderungsrolle geschlüpft :) Ne, hast es verdient :)