Eine Differentialgleichung der Form
$$ p(x, y(x)) y^{\prime}(x)+q(x, y(x))=0 $$
heißt exakt, wenn es eine differenzierbare Funktion \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
$$ p(x, y)=\frac{\partial F(x, y)}{\partial y} \text { und } q(x, y)=\frac{\partial F(x, y)}{\partial x} \text { gibt. } $$
a) Zeigen Sie, dass \( y \) genau dann eine Lösung der DGL (2.1) ist, wenn \( y \) in einer Niveaulinie von \( F \) verläuft.
b) Zeigen Sie, dass
$$ (4 b x y(x)+3 x+5) y^{\prime}(x)+3 x^{2}+8 a x+2 b y(x)^{2}+3 y(x)=0, $$
exakt ist. Geben Sie \( F \) und die Lösung \( y \) an.
Aufgabe:
Differentialgleichung Niveaulinie Exaktheit
Problem/Ansatz:
wir verstehen leider gar nicht was wir tun sollen. Die Frage was eine Niveaulinie ist ist schonmal der Anfang.
