Begründe, dass die Gerade g (C,H) in jedem Dreieck die Seite c schneidet.

Question

Gegeben: A=(1,2,4), B=(5,0,1), C=(5,7,1), Höhenschnittpunkt H=(3.4,2,2.2)

Begründe, dass die Gerade g (C,H) in jedem Dreieck die Seite c schneidet. Weise dies rechnerisch für das gegebene Dreieck ABC nach!

Meine Frage hier ist wie ich die Gerade g aufstellen soll. Und wie dann weiter?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Hallo,

nimm C als Stützvektor und den Vektor CH als Richtungsvektor der Geraden.

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\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 5\\7\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 3,4-5\\2-7\\2,2-1 \end{pmatrix}\\ g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 5\\7\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1,6\\-5\\1,2 \end{pmatrix}\\ \)

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c ist die Gerade durch A und B

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\(h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 4\\-2\\-3 \end{pmatrix}\)

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Setze beide Geradengleichungen gleich und schau, ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat.

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\( \begin{pmatrix} 5\\7\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1,6\\-5\\1,2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 4\\-2\\-3 \end{pmatrix} \)

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Gruß, Silvia

Answer 2

Begründe, dass die Gerade g (C,H) in jedem Dreieck die Seite c schneidet.

Der Fußpunkt der Höhe durch C liegt auf c und die Höhe durch C liegt auf g.

Meine Frage hier ist wie ich die Gerade g aufstellen soll.

Wie stellt man die Gleichung einer Geraden auf, die durch C und H geht?

Und wie dann weiter?

c liegt auf der Geraden h(A,B) durch A und B. Jetzt muss man die Gleichungen der Geraden h und g gleichsetzen und zeigen, dass das System der Koordinatengleichungen eine Lösung hat.